PSD Matrix'in Özelliğini Anlamak

Question

Bazı nedenlerden dolayı aklımı birkaç kavram etrafında toplayamıyorum.

İspatları okuyorum:

Pozitif yarı kesin bir A matrisinin sütun uzayı, A + B? Nin sütun uzayında bulunur?

İki pozitif yarı tanımlı matrisin toplamının sıralaması

Tek bir satırı anlayamıyorum. Varsayalım$X \succeq 0$pozitif yarı kesin. İzin Vermek$v \neq 0$ ve varsayalım $v^{T}Xv=0$. İkinci ve ilk bağlantı şunu söylüyor:$v$ sonra boş uzayda $X$anlamı $Xv=0$

Neden böyle olmak zorunda?

Teşekkürler.

Answer 1

Herhangi bir pozitif yarı kesin matris $X$pozitif bir yarı kesin karekök vardır $Y$, yani, $Y^2=X$.

$X$simetriktir, dolayısıyla negatif olmayan özdeğerlerle bir ortonormal bazda köşegenleştirilebilir. Aynı temelde özdeğerlerin karekökleri ile köşegen matrisi alın.

Sonuç olarak, $0=v^TXv=v^TY^2v=v^TY^TYv=\|Yv\|^2$ ima eder $Yv=0$ nereden $Xv=Y(Yv)=0$ yanı sıra.

Answer 2

Daha temel bir düzeyde, eğer $X$ pozitif yarı kesin, $(u,v):=u^TXv$yarı iç çarpımı tanımlar . Dolayısıyla Cauchy-Schwarz eşitsizliğini karşılar. Öyleyse, eğer$(v,v)=0$, sonra $|u^TXv|=|(u,v)|\le\sqrt{(u,u)(v,v)}=0$ her vektör için $u$. Bu nedenle$u^TXv$özdeş sıfırdır. Dan beri$u$ keyfi $Xv$ sıfır vektör olmalıdır.