yinelemeli dizi provaları

Question

Yinelemeli sekanslar konusunda biraz yeniyim ve bir egzersizle uğraşıyorum. Uzun soru ve bu tür sorunlara nasıl yaklaşılacağı konusundaki bilgisizliğim için şimdiden özür dilerim.

İzin Vermek $x_n$ öyle tanımlanmak $x_1 = 1$, $x_{n+1} = \frac{x_n^2+1}5$

Ve kanıtlamam / göstermem gereken 4 şey var.

(1) Bunu göster $x_n$ $\leq$ $1$ hepsi için $n$.

Bunu doğrudan mı yoksa tümevarım yoluyla mı ispatlayabileceğimden emin değilim? Bunun için en iyisi ne olabilir? Yinelemeli olarak tanımlandığında buna nasıl yaklaşacağımı bilmiyorum.

(2) Bunu göster $\lvert x_{n+1} - x_n \rvert$ $\leq (\frac{2}{5})^{n-1}$

Emin değilim ama kullanabilir miyim $\lvert\frac{x_{n+1}^2+1}{5}$ $-$ $\frac{x_n^2+1}{5}\rvert$$\ leq (\ frac {2} {5}) ^ {n-1} $ ve sonra bunu çözmeye çalışın. $ X_n $ ile nasıl başa çıkabilirim ?

(3) $ x_n $ ' ın bir Cauchy dizisi olduğunu gösterin .

Bir Cauchy dizisinin şu şekilde tanımlandığını biliyorum: Her pozitif gerçek sayı $ \ varepsilon $ için, tüm $ m, n \ gt N $ : $ \ lvert x_m - x_n \ doğal sayıları için pozitif bir tamsayı $ N $ vardır rvert \ lt \ varepsilon $ . Bu tanımı doğrudan bu sıraya uygulayabilir miyim ve oradan devam edebilir miyim?

(4) $ x_n $ limitini hesaplayın .

Yinelemeli olarak tanımlanmış bir dizi değilse, bu basit olmalıdır.

Bununla birlikte, aldığım dizinin ilk birkaç öğesini hesaplarsam:

$ x_1 = 1 $ , $ x_2 = \ frac {2} {5} $ , $ x_3 = \ frac {29} {125} $ , $ x_4 = \ frac {841} {15625} $ $ \ ldots $

İkinci terim 1 $ ' dan küçük olduğu için bu 0 $' a yaklaşıyor (tahmin ediyorum) . Ve 1 $ ' dan küçük bir sayının karesi her zaman orijinal sayıdan küçük olduğundan, $ \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} $ $ = 0 $ .

Sadece farklı sayıları denemeden bunu nasıl doğru bir şekilde kanıtlayabilirim?

Şimdiden teşekkür ederim!

Answer 1

1. Dan beri $x_1 \leq 1$, bunu kanıtlamamız gerekiyor, eğer $x_n \leq 1$, sonra $x_{n+1}\leq 1$. Bu basit çünkü bizde var$x_{n+1} = \dfrac{x_n^2+1}{5}\leq \frac 25 \leq 1$. Ayrıca bunu göz önünde bulundurarak$x_n >0$, biz bunu tespit ettik $0 < x_n \leq 1, \forall_n$.

2. $$|x_{n+1} - x_n| = \left| \frac{x_n^2+1}{5} - \frac{x_{n-1}^2+1}{5} \right|=\left| \frac{(x_n-x_{n-1})(x_n+x_{n-1})}{5}\right| \leq \frac 25 |x_n -x_{n-1}|$$ Bu eşitsizliği özyinelemeli olarak kullanarak, kişi $$|x_{n+1}-x_n|\leq (2/5)^{n-1}|x_2-x_1| \leq (2/5)^{n-1}.$$

3. Sıra, her biri için Cauchy'dir. $\varepsilon >0$bir düzen var $p$ öyle ki $|x_n-x_m| < \varepsilon$ hepsi için $n \ge m \ge p$. Şimdi,\begin{align*} |x_n-x_m|=&|x_n - x_{n-1}+x_{n-1} -x_{n-2}+x_{n-2} + \cdots -x_m|\\ \leq & |x_n-x_{n-1}| + |x_{n-1}-x_{n-2}| + \cdots +|x_{m+1}-x_m|\\ \leq & (2/5)^{n-1} + (2/5)^{n-2} + \cdots +(2/5)^{m-1}\\ =& \dfrac{1-(2/5)^n}{1-\frac 25}\times (2/5)^m = \frac 53 (1-(2/5)^n) (2/5)^m \leq \frac 53 (2/5)^m \end{align*} yani sadece seç $p$ öyle bir şekilde $\frac 53 (2/5)^p < \varepsilon$.

4. Sınır varsa ve var olduğunu biliyoruz çünkü Cauchy dizileri $\mathbb{R}$ yakınsak, sende var $$ x_{n+1} = \frac{x_n^2+1}{5} \Rightarrow L=\frac{L^2+1}{5} $$ ve bu yüzden $L = \frac{1}{2} \left(5\pm \sqrt{21}\right)$. Bilerek$L \in [0,1]$"-" işaretini seçmeli ve şu sonuca varmalıyız $L=\frac{1}{2} \left(5-\sqrt{21}\right)$.