Zar atma olasılığı

Question

Aşağıdaki Zar problemine cevap bulmakta zorlanıyorum -

6 kez adil zar atarım.

(a) Altı olası sonuçtan üçünün ortaya çıkmama ve diğer üç olası sonucun her birinin iki kez ortaya çıkma olasılığı nedir?

(b) Bazı sonuçların en az üç kez ortaya çıkma olasılığı nedir?

1. soruya cevap şu şekilde verilmiştir: $$\frac{\binom{6}{3}\binom{6}{2}\binom{6}{2}\binom{6}{2}}{6^6}$$

Ancak, yukarıdaki 2 soruyu yanıtlamak için herhangi bir sezgisel açıklama bulamadım.

Lütfen açıklamama yardım eder misin?

Herhangi bir işaretçi çok takdir edilecektir.

Answer 1

Bölüm (a): Verdiğiniz cevap yanlış. Olmalı

$$ \frac{\binom{6}{3} \binom{6}{2} \binom{4}{2} \binom{2}{2}}{6^6} .$$

İşte bazı açıklamalar. Var$6^6$toplam olası sonuçlar, yani payda budur. Pay, yalnızca sonuçların sayısı olmalıdır$3$ numaralar sırasında $6$ her numara iki kez görünecek şekilde rulo.

Var $\binom{6}{3}$ hangisini seçmenin yolları $3$sonuçlar zarın üzerinde görünür. Diyelim ki bu sonuçlar$a,b,c$. Mektupları tahsis etmek istiyoruz$a,a,b,b,c,c$ altı "yuvaya"

$$\_, \_, \_, \_, \_, \_ .$$

Var $\binom{6}{2}$ ikisini hangi yuvalara yerleştireceğinizi seçme yolları $a$içeride. O zaman var $\binom{4}{2}$ için yuvaları seçme yolları $b$s ve $\binom{2}{2}$ yolları $c$s.

Bölüm (b): İşte bir ipucu. İlk olarak, hangi sonucun üç veya daha fazla kez ortaya çıkacağını seçin. Ardından, bu sonucun tam olarak görünme olasılığını hesaplayın $3$zamanlar. Ardından, bu sonucun tam olarak görünme olasılıklarını hesaplayın $4, 5, 6$zamanlar. Son olarak, bu olasılıkları toplayın.

Bu sonucun tam olarak görünme olasılığını hesaplamak için $3$ zaman, ilk önce yuvaları ayırmayı düşünün. $3$ bu sonucun kopyaları görünür ve ardından kalan üç yuvayı nasıl dolduracağınızı düşünün.

(Düzenleme: Sonucun tam olarak görünme olasılığı için bir aldatıcı incelik var $3$zamanlar. İki sonucun olduğu olasılıkları abartmadığınızdan emin olmalısınız, onları arayın$a$ ve $b$her biri görünen $3$ zamanlar.)

Answer 2

(b) 3 kattan daha az görünen bir şeyi elde etme olasılığı $1-((\frac{1}{6})^6*6+(\frac16)^5(\frac56)*6*6+(\frac16)^4(\frac56)^2*6*15)=\frac{3685}{3888}$