$1/(x^6 + 1)$ Teilfraktion Zersetzung mit Computer?

Was Sie haben, ist in der Tat richtig, seit wir haben $$ \frac{1}{3}\frac{1}{x^2+1} + \frac{-\frac{x}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{3}}{x^2-\sqrt 3 x+1} + \frac{\frac{x}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{3}}{x^2+\sqrt 3 x+1} $$ $$=\frac{1}{3}\frac{1}{x^2+1}+\frac{2-x^2}{3(x^2-\sqrt{3}x+1)(x^2+\sqrt{3}+1)}$$ $$=\frac{1}{3}\frac{1}{x^2+1}+\frac{2-x^2}{3(x^4-x^2+1)}$$ $$=\frac{1}{3}\big[\frac{x^4-x^2+1+(2-x^2)(x^2+1)}{(x^2+1)(x^4-x^2+1)}\big]$$ $$=\frac{1}{3}\frac{3}{x^6+1}=\frac{1}{x^6+1}.$$

WA stimmt ebenfalls zu.

Sie versuchen, nach Koeffizienten zu suchen $a_0,\dots a_{2M-1}$ im $$ \frac1P = \sum_{i=0}^M \frac{a_{2i} x + a_{2i+1}}{Q_i}$$

wo $Q_i$sind 2. Ordnung. und$P$ ist eine hohe Ordnung $K$Polynom. Vermutlich$Q_i$ sind Faktoren von $P$. Ein naiver Algorithmus:

1. lass lass $S_i = P/Q_i = \sum_{k=0}^{K-2} s_{i,k} x^k$. Wählen Sie auch$s_{i,-1}:=0$ und $s_{i,K-2+l}:=0$ zum $l>0$und vielleicht andere Dinge Null, werden Sie im Debug herausfinden.

2. Mal $P$ bekommen \begin{align} 1 &= \sum_{i=0}^{M} S_i (a_i x + b_i) \\ &= \sum_{i=0}^M \sum_{k=0}^{K-2} a_{2i}s_{i,k}x^{k+1} + a_{2i+1}s_{i,k}x^{k} \\ &= \sum_{k=0}^{K-1}\sum_{i=0}^M (a_{2i}s_{i,k-1} + a_{2i+1}s_{i,k})x^k\\ &= \sum_{i=0}^M (a_{2i}s_{i,-1} + a_{2i+1}s_{i,0}) + \sum_{i=0}^M(a_{2i}s_{i,0} + a_{2i+1}s_{i,1})x + \sum_{i=0}^M(a_{2i}s_{i,1} + a_{2i+1}s_{i,2})x^2 + \dots \end{align}

3. Erkennen Sie dies als Matrixgleichung $$ \begin{bmatrix}1\\0\\ \vdots \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_{0,-1} & s_{0,0} & s_{1,-1} & s_{1,0} & s_{2,-1} & s_{2,0} & \dots \\ s_{0,0} & s_{0,1} & s_{1,0}& s_{1,1}& s_{2,0} & s_{2,1}& \dots \\ s_{0,1} & s_{0,2} & s_{1,1}& s_{1,2}& s_{2,1} & s_{2,2}& \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_0\\ a_1\\ \vdots \\ a_{2M-1}\end{bmatrix}$$

4. Finden Sie mit Ihrem Matrixlöser eine Lösung.

Ein sehr einfacher Ansatz wäre, nur 6 Werte durch zu ersetzen $x$um ein lineares Gleichungssystem zu erhalten. Zum Beispiel durch Einsetzen$x\in\{-2\sqrt3,-\sqrt3,0,\sqrt3,2\sqrt3,3\sqrt3\}$ gibt die folgenden Gleichungen an

$$\begin{bmatrix}-2/13&1/13&-2/19&1/19&-2/7&1/7\\-1/4&1/4&-1/7&1/7&-1&1\\0&1&0&1&0&1\\1/4&1/4&1&1&1/7&1/7\\2/13&1/13&2/7&1/7&2/19&1/19\\3/28&1/28&3/19&1/19&3/37&1/37\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A\sqrt3\\B\\C\sqrt3\\D\\K\sqrt3\\S\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/1729\\1/28\\1\\1/28\\1/1729\\1/19683\end{bmatrix}$$

Das ist sehr einfach mit den meisten Dingen zu lösen.

Hinweis: Dies setzt voraus, dass die angegebene Form korrekt ist, sodass sie an 6 ausgewählten Punkten funktionieren muss. Nur weil es für 6 Punkte funktioniert, beweist es nicht, dass es für alle Punkte funktioniert. In einigen Fällen stellen Sie möglicherweise auch fest, dass die Matrix auf der LHS singulär ist. Wenn es keine Lösungen gibt, ist die gewählte Form falsch. Wenn es mehrere Lösungen gibt, sollten unterschiedliche Punkte verwendet werden.