4x4 Gittergleichungen Version 2

Question

Ich habe beschlossen, eine andere davon zu machen, weil sie Spaß machen und diese etwas anders ist.

Können Sie alle Zahlen von 1 bis 16 in Zellen einfügen, sodass die folgenden 8 Gleichungen gelten? Beachten Sie, dass der Operator "/" nur für die Nicht-Rest-Division funktioniert, dh Sie können "8/4", aber nicht "8/3" haben. Wie üblich werden Multiplikation und Division vor Addition und Subtraktion durchgeführt. Viel Glück!

Answer 1

Lösung:

$\begin{matrix}1&+&9&+&5&=&15\\\times&&-&&+&&-\\10&+&12&/&2&=&16\\+&&/&&\times&&/\\4&\times&6&/&3&=&8\\=&&=&&=&&=\\14&/&7&+&11&=&13\end{matrix}$

Argumentation:

$\begin{matrix}\diamond\ast&+&\diamond&+&\diamond&=& \\\times&&-&&+&&-\\\ast&+& &/&\bigcirc&=& \\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&\bigcirc&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\ &/&\bigcirc&+& &=& \end{matrix}$

Wir stellen fest, dass alle Nenner sein müssen $\le8$ ("klein", markiert $\bigcirc$) wie muss a2 sein (in Schachbrettkoordinaten) weil $b2/c2 \ge 2$ und mindestens zwei der markierten $\diamond$ und mindestens eine der markierten $\ast$. Da nur 8 kleine Zahlen verfügbar sind, muss a4 klein sein und eine von b4, c4. Alle anderen müssen sein$>8$ ("groß", markiert $\Box$):

$\begin{matrix}\bigcirc&+&\Box\bigcirc&+&\Box\bigcirc&=&\Box\\\times&&-&&+&&-\\\Box&+&\Box&/&\bigcirc&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&\bigcirc&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\\Box&/&\bigcirc&+&\Box&=&\Box\end{matrix}$


und wir sehen, dass a4 sein muss $1$

Beachten Sie das $d4 = d3/d2 + a1/b1 + c2\times c3 + c4 \ge 2 + 2 + 2\times 3 + c4$ Daher muss c4 klein und b4 groß sein.

$\begin{matrix}1&+&\Box&+&\bigcirc&=&13\ldots 16\\\times&&-&&+&&-\\\Box&+&\Box&/&\bigcirc&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&\bigcirc&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\\Box&/&\bigcirc&+&9\ldots 12&=&11\ldots 14\end{matrix}$

Als nächstes sehen wir das $2$ muss entweder in c2 oder c3 sein:

$\begin{matrix}1&+&9\ldots 11&+&3\ldots 6&=&14\ldots 16\\\times&&-&&+&&-\\\Box&+&\Box&/&2\ldots 4&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&2\ldots 4&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\\Box&/&\bigcirc&+&10\ldots 12&=&12\ldots 14\end{matrix}$

Wir sind fast fertig! Beachten Sie dies in den Produkten$a2\times b2 = c2\times d2$ die Primzahlen $5$ und $7$ kann nicht auftreten, da sie nur einmal verfügbar sind.

$\begin{matrix}1&+&9\ldots 10&+&5&=&15\ldots 16\\\times&&-&&+&&-\\\Box&+&\Box&/&2\ldots 3&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\\bigcirc&\times&\bigcirc&/&2\ldots 3&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\14&/&7&+&11&=&13\end{matrix}$

Wir können beenden, indem wir Spalte a ausfüllen,

$\begin{matrix}1&+&9&+&5&=&15\\\times&&-&&+&&-\\10&+&\Box&/&2\ldots 3&=&\Box\\+&&/&&\times&&/\\4&\times&\bigcirc&/&2\ldots 3&=&\bigcirc\\=&&=&&=&&=\\14&/&7&+&11&=&13\end{matrix}$

Reihe 3 und schließlich Reihe 2.

Answer 2

Die Ziffern seien a1, a2, a3,… d4 unter Verwendung der algebraischen Standardschachnotation (dh Buchstaben = Spalten, Zahlen = Zeilen, a1 = unten links).

Definieren Sie eine niedrige Ziffer = 1-8, eine hohe Ziffer = 9-16. Die Zellen b1, a2, b2, c2, d2, c3 sind alle niedrig. Die obere Reihe enthält zwei niedrige Zahlen, ansonsten d4> 16. Dies erklärt alle acht niedrigen Zahlen und daher ist a3 hoch. Ergo ist a4 = 1, um a1> 16 zu vermeiden. Betrachten Sie nun die Kette c4 <c1 <d1 <d4. Die minimalen Unterschiede sind c1-c4> = 6, d1-c1> = 2, d4-d1> = 2. Wir finden bald, dass a2, c2, c3 eine Permutation von 2,3,4 sein muss. Daher ist c4 mindestens 5 und d4 mindestens 15.

Da 13 Primzahl ist, muss es in a3 oder d1 gehen. Aber wenn a3 = 13 ist, dann sind a1, d3, d4 alle 15 oder größer, Widerspruch. Daher ist d1 = 13, c1 = 11, c4 = 5. Wir haben ein 2,3-Paar in c2, c3, also a2 = 4. Daher ist d2 = 8 und d3 = 16. Da b2 / c2 = 2 ist, haben wir 4 * 6/3 = 8 in Zeile 3 und der Rest ist einfach