$A$ ist also nicht potent $I+\lambda A$ ist für jeden invertierbar $\lambda \in \mathbb{R}$

Question

Ich brauche in diesem Problem helfen
Let$A$ ist eine quadratische reelle Matrix, so dass $A^{n}=0$ für eine positive ganze Zahl $n .$Eine solche Matrix wird als nullpotent bezeichnet. Zeigen Sie das, wenn$A$ ist also nicht potent $I+\lambda A$ ist für jeden invertierbar $\lambda \in \mathbb{R}$

Ich weiß das für $\lambda = 1$ es ist wahr von
$$\left(A+I\right)\left(I-A+A^2-...+(-1)^n A^{n-1}\right) = I +(-1)^{n-1} A^n = I$$ Das beweist das $A+I$ ist für jeden Nullpotenten invertierbar $A$.

Aber ich weiß nicht, ob dies für irgendjemanden zutrifft $\lambda$.

Answer 1

Wir haben $(I+\lambda A)(I-\lambda A+\lambda^2A^2-...)=I$.

Answer 2

Hinweis: Da weißt du schon ob $A$ ist also nicht potent $I+A$ ist eine Einheit, können Sie das beobachten $\lambda A$ ist nilpotent und schließen.

Answer 3

Sie können es auch durch Widerspruch wie folgt zeigen:

Zum $\lambda = 0$ es gibt nichts zu zeigen.

Also, lass uns $\lambda \neq 0$ und nimm das an $I+\lambda A$ ist nicht invertierbar. $$\Rightarrow \det (I+\lambda A)=0 \Rightarrow \det \left(A - \mu I\right)=0 \text{ with } \mu = -\frac 1{\lambda} \neq 0$$

Damit, $\mu\neq 0$ wäre ein Eigenwert von $A$. Schon seit$A$ ist nilpotent, hätten wir $\mu = 0$, was ein Widerspruch ist.

Answer 4

Ich gehe davon aus $A$ ist vorbei $\mathbb{R}$ mit nullpotentem Index $k$

im Fall $\lambda = 0$ :: $(I - \lambda A) = I$und ist invertierbar.
im Fall$\lambda \not= 0$: Wir werden dieses nächste Lemma verwenden

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Lemma: wenn$B$ ist eine echte nilpotente Matrix, $B$hat keine reellen Eigenwerte ungleich Null.
Beweis:

Lasst uns annehmen $B$ ist nullpotent des Index $r$.
wir nehmen auch an, dass es einen echten Eigenwert hat -$\xi$

per definitionem bedeutet dies, dass ein Vektor ungleich Null existiert $v$ so dass-

$Bv = \xi v$

damit, $B^2v = B(B(v)) = B(\xi v) = \xi B(v) = \xi^2 v$
Im Allgemeinen ist es nicht schwer, dies durch Induktion zu zeigen
$\forall n \in \mathbb{N} : B^n (v) = \xi ^n v$

damit bekommen wir: $B ^r (v) = \xi ^r v$
aber auch $B ^r (v) = O (v) = \underline0$

damit - $\xi ^r v = \underline0$.
aber$v \not= \underline0$ , also müssen wir bekommen $\xi ^r = 0$ - was insgesamt bedeutet, dass:
$\xi = 0$
$Q.E.D$

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Wenden Sie nun dieses Lemma an$A$und das bekommen $A$hat keine Nicht-Null-Eigenwerte .

Lassen Sie uns die Matrix untersuchen $I - \lambda A$ Ich erinnere mich daran hier $\lambda \not= 0$.

Diese Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie eine Determinante ungleich Null hat.
Berechnen wir seine Determinante:

$det(I - \lambda A) = \lambda det(\lambda ^{-1}I - A)$

Angenommen, dies ist gleich $0$ und bekomme:
$\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$
$det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$

und so - $\lambda ^{-1}$ ist ein Eigenwert von $A$, die nicht Null ist. Widerspruch.

deshalb, $\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) \not= 0$ und so -
$det(I - \lambda A) \not = 0$ und die Matrix ist invertierbar.