Ableitung einer differenzierbaren Funktion

Question

Eine Funktion gegeben $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ so dass $f$ ist differenzierbar in $(a,b)$ und kontinuierlich bei $0$ und $1$. Lassen$g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sei die Linie, die durchgeht $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$. Ich habe mich gefragt, wie ich das für jeden zeigen kann$s \notin [a,b]$gibt es $t \in [a,b]$ so dass die Tangentenlinie von $f(x)$ am Punkt $(t,f(t))$ geht durch $(s,g(s))$? (Ich habe überlegt, den Mittelwertsatz zu verwenden, aber ich konnte ihn nicht nur mit MVT beweisen.)

Answer 1

WLOG, $f(a)=f(b)=0$ weil wir von subtrahieren können $f$eine lineare Funktion, ohne die Tangentialitätsbedingung zu brechen. Betrachten Sie nun die Hilfsfunktion

$$\frac{f(t)}{t-s}$$ das hat die Ableitung

$$\frac{f'(t)(t-s)-f(t)}{(t-s)^2}$$ stornieren wo

$$f'(t^*)=\frac{f(t^*)}{t^*-s}$$ und wende den Satz von Rolle an.