Ableitung von Integral mit Grenzen

Question

Ich habe folgendes Problem:

Lassen $f(x) = \int_{3}^{x}\sqrt{1+t^3}\ dt$. Finden$(f^{-1})'(0)$.

Ich weiß das wenn $g' = f^{-1}(x)$ Das $g'(f(x))f'(x) = 1$. Offensichtlich wann$x$ ist $3$, $f(x)$ ist $0$. Also habe ich das herausgefunden:

$\displaystyle\ g’(f(3))f’(3)=1→ g'(0)=\frac{1}{f'(3)}→(f^{-1})'(0)=\frac{1}{\frac{d}{dt}[\int\sqrt{1+3^{3}}dt]}=\frac{1}{\sqrt{1+27}}$ $$=\frac{1}{\sqrt{28}}.$$

Meine Frage ist: seit $f(x)$ wurde ursprünglich ein Integral ausgewertet von $3$ zu $x$sollte nicht $x$ Sein $3$über die Gleichung, den Versuch nutzlos zu machen, die Ableitung davon zu nehmen? Würde dies dazu führen, dass die Lösung "nicht definiert" wird, da Sie nicht teilen können$(1)$um Null? Oder hebt die Ableitung die Grenzen effektiv auf?

Answer 1

Nach dem Fundamentalsatz der Analysis haben Sie$$f'(x)=\sqrt{1+x^3}.$$

Alternativ erinnern Sie sich daran $x=f(f^{-1}(x))$, also beide Seiten der Gleichung unterscheiden und die Kettenregel verwenden, die wir haben $$1=f'(f^{-1}(x))(f^{-1}(x))'$$

so $$(f^{-1}(x))'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\frac{1}{\sqrt{1+(f^{-1}(x))^3}}$$

dann seit $f(3)=0$ wir haben $f^{-1}(0)=3$ (wie du erwähnt hast) und damit

$$(f^{-1}(0))'=\frac{1}{\sqrt{1+(f^{-1}(0))^3}}=\frac{1}{\sqrt{1+27}}=\frac{1}{\sqrt{28}}.$$

Answer 2

Meine ganze Antwort hier basiert auf der Tatsache, dass Sie angenommen haben $x \geq 3$. Wenn ich mich irre, sollte Ihr Zweifel eher mit dem Sinn der Grenzen der Integration zusammenhängen.

Ich möchte, dass Sie sich an das Grundprinzip der Derivate erinnern.

Das erste Prinzip der Differenzierung.

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-(x)}$$ Hier erhalten wir den Ableitungswert durch Ausführen $h$ in positiver und negativer Nachbarschaft von $0$.
Daher immer infinitesimale Veränderung in$f(x)$ in der Nachbarschaft von $x$ über infinitesimale Änderung in $x$.

Aber wenn eine der Nachbarschaften nicht in der Domäne in der Nähe vorhanden ist $x$ wir stattdessen nur in eine Richtung.

Beispielsweise $\ln(x), x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x}$ usw...

Sie bekommen das Bild, denke ich. Jetzt würden Sie den Sinn dieses Derivats in Frage stellen. Es ist, wann die Steigung (Änderungsrate) der Kurve / Funktion sein wird, wenn sie in die einzig zulässige Richtung geht.

In ähnlicher Weise hat hier die fragliche Funktion eine solche Eigenschaft.

Eine genauere Lösung für solche Derivate nach dem ersten Prinzip kann gegeben werden als: $$f(x)=\int_{3}^{x}{\sqrt{1+t^3}\ dt}$$ Für diese spezielle Funktion ist die Bedeutung der Ableitung bei $x=3$ muss: $$f'(3)=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$$

Die obige Gleichung sagt das aus $x$ wird nur in positiver Nachbarschaft von variieren $3$.