An einer Grenze für die auflösende Norm

Question

Lassen $H$sei ein komplexer, unendlich dimensionaler, trennbarer Hilbert-Raum. Korrigieren Sie zwei beliebige Operatoren ungleich Null$A,B \in B(H)$ so dass $B$ ist kein skalares Vielfaches von $A$. Es ist gut bekannt, dass:

$$ \| R_A (z) \| \rightarrow 0 \quad \text{when}\, |z| \rightarrow +\infty $$

Dies folgt leicht aus:

$$\|R_A(z) \| \leq \frac{1}{|z| - \| A \|} \quad \forall z \in \mathbb{C} : |z| > \| A \|$$

Betrachten Sie nun den Operator $A+ cB$ wo $c$ ist eine positive reelle Zahl und legt eine komplexe Zahl fest $z$. Können wir das für alle sagen?$\epsilon >0$gibt es $M>0$ so dass:

$$ c > M \, \, \text{such that} \, \, z \not \in \sigma(A+cB) \Rightarrow \|R_{A+cB} (z)\| < \epsilon$$

Intuitiv für$c \rightarrow +\infty$, Wir würden haben:

$$ R_{A+cB}(z)=(z-A-cB)^{-1}= c^{-1}(z/c - A/c -B)^{-1} "\rightarrow" 0$$

weil $|z/c| \rightarrow 0$, $\|A\| / c \rightarrow 0$, $1/c \rightarrow 0$ und $B$Ist repariert. Mir ist jedoch kein Hinweis auf ein Ergebnis dieser Art bekannt. Hat jemand eine Referenz oder einen Beweis dafür?

Answer 1

Wie Michael bereits bemerkte: Es ist einfach, Gegenbeispiele zu konstruieren, wenn $B$ hat einen nichttrivialen Kernel $N(B)$ und $A$ Karten $N(B)$ in sich selbst, seit auf $N(B)$ die Größe von $c$ spielt keine Rolle.

Aber auch wenn $B$ ist ein Isomorphismus, sogar die Identität $B=I$ist die Vermutung falsch: $z-A-cB=(z-c)-A$. Das Maximum der Norm der Umkehrung (insgesamt$z$ vom entsprechenden Resolventensatz) ist eindeutig unabhängig von $c$.

Wie auch immer, wenn $B$ist ein Isomorphismus, es gibt einige Schätzungen:

Da gilt $(z-A-cB)^{-1}=B^{-1}((z-A)B^{-1}-c)^{-1}$, und man kann die in der Frage erwähnte Resolvent-Schätzung verwenden, um zu erhalten $$\|R_{A+cB}(z)\|\le\|B^{-1}\|\frac1{|c|-\|(z-A)B^{-1}\|}.$$ Dies gibt eine Schätzung, wenn $|c|$ ist groß im Vergleich zu $|z|\|B^{-1}\|$.

Wenn $|z|$ ist groß im Vergleich zu $|c|\|B\|$kann die Schätzung aus der Frage verwendet werden.

Wenn beides nicht der Fall ist, muss es keine gute Schätzung geben, wie oben erwähnt ($B=I$).