Angabe eines Hamilton-Vektorfeldes an einem Punkt
Annehmen $M$ ist ein $2n$ Maßverteiler ausgestattet mit $\omega \in \Omega^2(M)$ eine nicht entartete, aber nicht unbedingt geschlossene Zweiform.
Für eine bestimmte Funktion $H:M\to\mathbb{R}$, schon seit $\omega$ ist nicht entartet, können wir wie üblich das Hamilton-Vektorfeld durch definieren $i_{X_H}\omega = dH$. Natürlich, da wir das nicht unbedingt haben$d\omega = 0$können wir die Tatsache verlieren, dass $\mathcal{L}_{X_H}\omega = 0$. Außerdem verlieren wir Darboux 'Satz, um ihn auszudrücken$\omega$ örtlich.
Nun lass $p\in M$ und $X_p \in T_pM$. Ich habe über folgende Frage nachgedacht:
Können wir eine Funktion finden? $H \in C^{\infty}(M)$ so dass $X_H(p) = X_p$? Es scheint sehr vernünftig zu sein, dass es wahr ist (obwohl ich nicht denke, dass es wahr ist, wenn wir bedenken, dass wir die Vektorfelder bitten, sich auf eine Nachbarschaft zu einigen).
Das ist mein Versuch.
Wenn $(U,x_1, ...,x_{2n})$ ist ein Diagramm herum $p$, dann können wir schreiben $X_p = \sum_iv^i\frac{\partial}{\partial x_i}(p)$, und $\omega = \sum_{i<j}f_{ij}dx_i\wedge dx_j$. Um eine solche Funktion zu finden$H$, das müssen wir per definitionem haben $X_H$, $i_{X_H}\omega(p) = i_{X_p}\omega(p) = dH(p)$.
Dann berechnen wir:
\ begin {Gleichung} i_ {X_p} \ omega (p) = \ sum_ {i <j} f_ {ij} (p) dx_i \ Keil dx_j (X_P ,.) = \ sum_ {i <j} f_ {ij} (p) (v_idx_j - v_jdx_i) \ end {Gleichung}
Wenn wir diese Begriffe zusammenfassen, erhalten wir:
\ begin {Gleichung} i_ {X_p} \ omega (p) = \ sum_ {i} a_idx_i \ end {Gleichung}
Wo $a_i\in\mathbb{R}$ sind konstant abhängig von $f_{ij}(p)v_k$ (Ich habe das im Fall von ausgearbeitet $2n=4$).
Daher können wir definieren $H$ lokal als $H(x_1,...,x_{2n}) = \sum_ia_ix_i$und dann haben wir $dH(p) = \sum_{i}a_idx_i = i_{X_p}\omega(p)$. Auch können wir leicht erweitern$H$ zu $M$ zum Beispiel mit Trennwänden der Einheit.
Nun, da $\omega$ist nicht entartet, ist das Hamilton-Vektorfeld an jedem Punkt eindeutig. Daher,$X_p = X_H(p)$.
Ich glaube, dieses Argument ist richtig, aber gibt es einen vernünftigeren Weg, dies zu zeigen? Können wir es auch besser machen und dieses Ergebnis lokal in einer Nachbarschaft von erzielen?$p$?
Ich denke nicht, weil dies analog zu der Idee ist, dass jedes Vektorfeld lokal der Gradient einer Funktion ist, die sogar in der Ebene liegt $\mathbb{R}^2$ ist nicht wahr, und ein ähnlicher Ansatz kann verwendet werden.
Antworten
Ja, das ist im Wesentlichen die gegebene Idee $X_p$verwenden Sie Nicht-Entartung von $\omega$ um den zugehörigen Covector zu erhalten $\alpha_p:= \omega^{\flat}(X_p) = \omega_p(X_p,\cdot) = \iota_{X_p}\omega(p)$. Dann finden wir anhand eines Diagramms eine Funktion$h$ lokal so, dass $dh(p) = \alpha(p)$. Dann reduzieren wir mithilfe einer Bump-Funktion die Unterstützung von$h$und erweitern Sie es dann, um an anderer Stelle Null zu sein; diese neue Funktion$H$ hat alle Eigenschaften benötigt.
Angenommen, Sie erhalten ein Vektorfeld $\xi$ auf $M$und Sie möchten wissen, ob es sich lokal um ein Hamilton-Vektorfeld handelt (dh ob dies für jedes Feld zutrifft $p\in M$gibt es eine offene Nachbarschaft $U$ so dass es eine glatte gibt $H$ so dass $X_H|_U = \xi|_U$). Um dies festzustellen, gehen wir wie folgt vor. Betrachten Sie die zugehörigen$1$-Form über den musikalischen Isomorphismus $\alpha:= \omega^{\flat}(\xi) := \omega(\xi, \cdot) =: \iota_{\xi}\omega$. Die obige Frage ist völlig gleichbedeutend mit der Frage, ob wir lokal schreiben dürfen$\alpha = dH$ für einige $H$. Dies entspricht natürlich (nach Poincares Lemma)$\alpha$ ein geschlossener sein $1$-bilden; dh$d\alpha = 0$.
Zusammenfassend ist ein Vektorfeld gegeben $\xi$ist es lokal ein Hamilton-Vektorfeld (in Bezug auf $\omega$) genau dann, wenn wir haben $d(\omega^{\flat}(\xi)) =d(\omega(\xi,\cdot)) = 0$. Aber punktuell kann dies immer getan werden.
Beachten Sie, dass dies unabhängig von der Dimension von gilt $M$und es erfordert nicht einmal eine Schrägsymmetrie von $\omega$;; Diese Aussagen gelten einfach weil$\omega$ ist nicht entartet $(0,2)$ Tensorfeld an $M$ (Daher gilt eine ähnliche Aussage zum Beispiel für eine Riemannsche oder Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeit. Ersetzen Sie sie einfach $\omega$ mit $g$, der metrische Tensor). Also, während ich die Notation benutzte$\omega$und die Terminologie "lokal Hamiltonian" usw. aus der Symplektischen Geometrie musste ich nicht wirklich.
Beachten Sie auch, dass, wenn Sie weiter annehmen $\omega$ ist eine geschlossene $2$-form (daher eine symplektische Form), dann ist die obige Bedingung, "lokal Hamiltonianer" zu sein, äquivalent (nach Cartans Zauberformel) zu $\mathcal{L}_{\xi}\omega = 0$.