Anwendung des Noethersatzes

Question

Ich versuche, eines der Beispiele für die Anwendung des Noether-Theorems zu verstehen, die in Peskin & Schröders Eine Einführung in die Quantenfeldtheorie (Seite Nr. 18, Student Economy Edition) gegeben sind. Der relevante Teil des Textes ist unten angegeben.

Wenn ich die Ableitung und die entsprechende Diskussion hier richtig verstehe , dann wurde angenommen, dass die Lagrange-Dichte$\mathcal{L}$ erfüllt die Euler-Lagrange-Gleichung: $$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = \partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right].$$

Meine Verwirrung: Ich verstehe nicht wie$\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_{\mu} \phi)^2$erfüllt die Euler-Lagrange-Gleichung. Denn auf der linken Seite bekomme ich$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0$und auf der rechten Seite bekomme ich $\partial_{\mu}\left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right] = \partial_{\mu} \partial^{\mu} \phi.$ Wenn das gegeben ist $\mathcal{L}$erfüllt nicht die Euler-Lagrange-Gleichung, wie kann dann die Formulierung von Peskin & Schroeder auf diesen Fall angewendet werden? Was fehlt mir hier?

Answer 1

Sie haben Ihre Euler-Lagrange-Gleichung richtig geschrieben. Wenn Sie es also vereinfachen, erhalten Sie die Bewegungsgleichung (genau wie Sie in Ihrer Frage erwähnt haben):$$\partial_\mu\partial^\mu\phi=\partial^2\phi=0.$$ Beachten Sie, dass dies nichts Besonderes ist, denn wenn Sie den Lagrange auch mit dem potenziellen Energiebegriff verwendet haben, d. H. $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2,$$ Die Bewegungsgleichung, die Sie erhalten würden, ist $$(\partial_\mu\partial^\mu+m^2)\phi=0.$$Alles, was wir hier tun, ist einstecken $m=0$, was die erste Gleichung zurückgibt.

Wenn ich das richtig verstehe, haben Sie ein Problem damit, dass die Euler-Lagrange-Gleichung "zufrieden" ist. Ich möchte dies klarstellen, indem ich Ihre Aussage korrigiere: Es ist falsch zu sagen, dass der "Lagrange"$\mathcal{L}$erfüllt die Euler-Lagrange-Gleichung; Es ist das "Feld"$\phi$ das erfüllt die Euler-Lagrange-Gleichung.

Die Euler-Lagrange-Gleichung lautet $$\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0,$$Dies gibt Ihnen unterschiedliche Ausdrücke für LHS, je nachdem, welchen Lagrange Sie verwenden (wir haben oben bereits zwei Beispiele gesehen). Sie setzen den Ausdruck auf der linken Seite mit Null gleich, um die Euler-Lagrange-Gleichung (oder Bewegungsgleichung) zu erhalten und nach zu lösen$\phi$.

Ich hoffe, dies hat das Problem geklärt.

Answer 2

Die Euler-Lagrange-Gleichung wird von nicht automatisch erfüllt $\mathcal{L}$. Es ist anders herum. Gegeben$\mathcal{L}$finden Sie die klassische Bewegungsgleichung, die vom Feld erfüllt wird $\phi$. Dies ist wie eine Formel für die Kraft in der Newtonschen Mechanik. Auch wenn du es weißt$F$müssen Sie noch Newtons zweites Gesetz kennen $F=ma$die Bewegung finden. Auch hier: gegeben$\mathcal{L}$benötigen Sie noch das "Gesetz" (EL-Gleichung), um die Bewegung zu finden.

Answer 3

Für das, was es wert ist, ist es sehr wichtig, in welchem ​​Stadium man Euler-Lagrange (EL) -Gleichungen in einer Anwendung des (ersten) Satzes von Noether verwendet . Noethers erster Satz hat zwei Seiten:

• Eingabe: Eine globale Off-Shell$^1$ (Quasi) Symmetrie . Hier sollte man EOM nicht verwenden. (Eine On-Shell-Symmetrie ist ein leerer Begriff, denn wann immer wir die Aktion variieren$\delta S$ infinitesimal und wenden Sie EOM an, dann per Definition $\delta S\approx 0$ verschwindet Modulo-Grenzterme.)

• Ausgabe: Eine Kontinuitätsgleichung auf der Schale . Hier sollte man EOM verwenden. (Wenn es sich auch außerhalb der Schale befindet, liegt dies daran, dass die globale Symmetrie Teil einer größeren lokalen / Eichensymmetrie ist . Siehe Noethers zweiten Satz und z . B. diesen Phys.SE-Beitrag.)

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$^1$Die Wörter On-Shell und Off-Shell beziehen sich darauf, ob die Euler-Lagrange (EL) -Gleichungen (= EOM) erfüllt sind oder nicht.