Begrenzen Sie mit komplexem Logarithmus

Question

Gibt es diese Grenzen, die den Hauptzweig des natürlichen Logarithmus betreffen? $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ $$\lim_{z\rightarrow 0}\ln(z^2-1)$$

Ich denke, die erste Grenze ist gerecht $i\pi$. Aber ich weiß nicht, wie ich das rechtfertigen soll.

Für die zweite Grenze der Punkt $z\rightarrow 0$ist im Ast geschnitten. Also ich denke, dass die Grenze dort nicht existiert, weil$\ln$ist nicht definiert. Ist das richtig?

Jede Hilfe wird geschätzt.

Answer 1

Zum $z \in \mathbb C\setminus \{0\}$, du hast $\Im(-i \vert z \vert -1) = -\vert z \vert <0$.

Daher $$\lim\limits_{z \to 0} \ln(-i\vert z \vert -1)=-i\pi.$$

Hinweis: jedoch die Karte $f : z \mapsto \ln(-i\vert z \vert -1)$ ist bei Null nicht stetig als $f(0) =i\pi$.

Und Sie haben Recht mit der zweiten Grenze: Sie existiert nicht.

Answer 2

Beginnen wir mit dem ersten! $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ Wir wissen das $$e^{i{\theta}}=cos(\theta)+isin(\theta)$$ $$ln(e^{i{\theta}})=ln(cos(\theta)+isin(\theta)) $$ $$i\theta=ln(cos(\theta)+isin(\theta))$$ $$\boxed{\theta=-iln(cos(\theta)+isin(\theta))} \quad (1)$$ Also, wenn wir haben: $$ln(-1)$$ es bedeutet das $$cos(\theta)=-1 \space and \space sin(\theta)=0$$ $$\theta=arccos(-1)$$ so $$\theta={\pi}$$ Jetzt können wir ersetzen $$ \quad (1)$$ $$\boxed{\pi=-iln(cos(\pi)+isin(\pi))}$$ $$\boxed{i{\pi=ln(-1)}}$$Sie können die zweite Übung auf die gleiche Weise begründen. (Entschuldigung für mein Englisch und meine Schreibfähigkeiten)