Begrenzung der $\mathbb{E}|X|^p $ und $\mathbb{E}|Y|^p$ durch $\mathbb{E}|X+Y|^p$ [Duplikat]

Question

Ich versuche folgende Aussage zu beweisen:

Lassen $X, Y$zwei unabhängige Zufallsvariablen sein. Wenn für einige$p>0$, $\mathbb{E}(|X+Y|^p)<\infty$, dann $\mathbb{E}(|X|^p)$ und $\mathbb{E}(|Y|^p)$ sind beide endlich.

Das Problem, das ich habe, ist, dass alle Ungleichheiten, an die ich in diesem Fall denken kann, in die entgegengesetzte Richtung zu dem gehen, was ich tatsächlich beweisen möchte. Zum Beispiel lässt mich Minowskis Ungleichung darauf schließen$$\mathbb{E}|X+Y|^p \leq [(\mathbb{E} |X|^p)^{1/p} +(\mathbb{E} |Y|^p)^{1/p}]^p $$Dies ist jedoch in Bezug auf die Richtung der Anfrage überhaupt nicht hilfreich. Ich hatte auch Mühe, einen Weg zu finden, um die Unabhängigkeitsannahme zu nutzen. Ich würde mich freuen, wenn jemand einen Hinweis geben könnte.

Answer 1

Schon seit $|X+Y|^p$ ist in Bezug auf integrierbar $\mathbb P$können wir bedingte Erwartung definieren $\mathbb E[|X+Y|^p | \mathcal G]$ in Bezug auf alle $\sigma-$Feld $\mathcal G \subset \mathcal F$. Lassen$\mathcal G = \sigma(X)$ zum Beispiel.

Durch Eigenschaften der bedingten Erwartung und Unabhängigkeit erhalten wir:

$$ \infty > \mathbb E[|X+Y|^p] = \mathbb E[ \mathbb E[ |X+Y|^p | \sigma(X) ] ] = \mathbb E[ H(X)] $$

Wo $H(t)= \mathbb E[|t+Y|^p]$. Insbesondere müssen wir haben$H(X) < \infty$ $\mathbb P-$fast sicher, so dass wir mindestens eine haben müssen $t \in \mathbb R$ so dass $H(t) < \infty$, was bedeutet, dass es einige gibt $t \in \mathbb R$ so dass $\mathbb E[|t+Y|^p] < \infty$

Aber dann $$\mathbb E[|Y|^p] = \mathbb E[ |(Y+t) + (-t)|^p] \le \Big(\big(\mathbb E[|Y+t|^p]\big)^{\frac{1}{p}} + |t| \Big)^p < \infty$$

Ebenso wechseln zu $\sigma(Y)$ wir werden .. bekommen $\mathbb E|X|^p < \infty$.