Berechnungssummierungen in Latex

Question

Kann mir bitte jemand helfen? Ich muss die Summe 1 + 1/2 + 1/3 + ... 1 / n (n angegeben) nur mit Latex-Befehlen berechnen. Ich habe keine Ahnung, wie ich das machen kann. Danke vielmals.

Answer 1

Für die beste Genauigkeit, empfiehlt Durchführung ich diese Berechnung unter Verwendung l3fpstatt pgfmath. Ich schlage zwei Funktionen vor, \mySetToSumund \mySetToSumAlt. Beide akzeptieren dieselben Argumente und berechnen die Summe mit l3fp. Der Unterschied besteht darin, wie sie das gerundete Ergebnis in ihr erstes Argument schreiben:

• \mySetToSum rundet die berechnete Summe gemäß der im dritten Argument angegebenen Anzahl von Dezimalstellen und verwirft gegebenenfalls nachfolgende Nullen;

• \mySetToSumAlt macht das gleiche, bleibt aber hinter Nullen.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}            % only for the sample text with \dotsb
\usepackage{xparse}             % not necessary with recent LaTeX (Oct. 2020)
\usepackage{xfp}                % only for \fpeval (demo code)
\usepackage{pgfmath}            % for printing the result with a fixed number
                                % of decimal places (used in \mySetToSumAlt)
\ExplSyntaxOn

\cs_new_protected:Npn \angelo_set_to_sum:Nn #1#2
  {
    \fp_zero_new:N #1
    \int_step_inline:nn {#2} { \fp_add:Nn #1 { 1/##1 } }
  }

\fp_new:N \l__angelo_result_fp

% Document-level interface
% #1: control sequence that will receive the result
% #2: value of n
% #3: round the result to this number of decimal places
\NewDocumentCommand \mySetToSum { m m m }
  {
    % Compute the sum with l3fp; put the result in \l__angelo_result_fp.
    \angelo_set_to_sum:Nn \l__angelo_result_fp {#2}
    % Set #1 to the result after rounding.
    \tl_set:Nx #1 { \fp_eval:n { round(\l__angelo_result_fp, #3) } }
  }

% Same macro, but uses \pgfmathprintnumberto in order to always write the
% specified number of decimal places, even if this means printing trailing
% zeros.
\NewDocumentCommand \mySetToSumAlt { m m m }
  {
    \angelo_set_to_sum:Nn \l__angelo_result_fp {#2}
    % Set #1 to the result after rounding.
    \pgfmathprintnumberto[fixed~zerofill, precision={#3}]
      { \fp_eval:n { \l__angelo_result_fp } } {#1}
  }
\ExplSyntaxOff

\begin{document}

% Use n = 60 and round to 6 decimal places.
\mySetToSum{\result}{60}{6}%
% Ditto, but keep trailing zeros, if any.
\mySetToSumAlt{\resultWithTrailingZeros}{60}{6}%
\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dotsb + \frac{1}{60}
   \approx \resultWithTrailingZeros \approx \result \]
Approximation of the Euler–Mascheroni constant:
\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dotsb + \frac{1}{60} - \ln(60) \approx
    \fpeval{round(\result - ln(60), 6)} \]
%
% Now use n = 100
\mySetToSum{\result}{100}{6}%
\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dotsb + \frac{1}{100} - \ln(100) \approx
    \fpeval{round(\result - ln(100), 6)} \]
%
% Now use n = 200
\mySetToSum{\result}{200}{6}%
\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dotsb + \frac{1}{200} - \ln(200) \approx
    \fpeval{round(\result - ln(200), 6)} \]
%
% Now use n = 1000
\mySetToSum{\result}{1000}{6}%
\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dotsb + \frac{1}{1000} - \ln(1000) \approx
    \fpeval{round(\result - ln(1000), 6)} \]
According to Wikipedia, the value of this constant is close to $0.57722$.

\end{document}

Answer 2

Hier ist eine LuaLaTeX-basierte Lösung.

% !TEX TS-program = lualatex
\documentclass{article}
\directlua{%

  function harmonic ( n )
     local h=0
     for i=1,n do h=h+1/i end
     return h
  end

} 
%% LaTeX macro to access the Lua function:
\newcommand\harmonic[1]{\directlua{tex.sprint(harmonic(#1))}}
\newcommand\difference[1]{\directlua{tex.sprint(harmonic(#1)-math.log(#1))}}

\begin{document}

The value of the tenth harmonic number is \harmonic{10}.

\medskip
\begin{tabular}{@{} rll @{}}
\hline
$n$ & harmonic($n$) & harmonic($n$)${}-\ln(n)$\\
\hline
1 & \harmonic{1}   & \difference{1}    \\
10 & \harmonic{10}  & \difference{10}   \\
100 & \harmonic{100} & \difference{100}  \\
1000 & \harmonic{1e3} & \difference{1e3}  \\
10000 & \harmonic{1e4} & \difference{1e4}  \\
100000 & \harmonic{1e5} & \difference{1e5}  \\
1000000 & \harmonic{1e6} & \difference{1e6}  \\
10000000 & \harmonic{1e7} & \difference{1e7}  \\
100000000 & \harmonic{1e8} & \difference{1e8}  \\
\hline
\end{tabular}

\medskip
Euler-Mascheroni constant${}\approx 0.5772156649$.
         
\end{document}

Answer 3

Aufgrund der sehr begrenzten Rechenfähigkeiten gibt es im Wesentlichen keine Möglichkeit, schnelle Berechnungen nur mit TeX-Methoden durchzuführen.

Die folgende Lösung speichert die Werte der Oberschwingungssummen bis zu 5000, sodass sie in linearer Zeit verfügbar sind. Ab 5000 wird die Rechenzeit zu lang.

\documentclass{article}
\usepackage{booktabs}
%\usepackage{xparse} % not necessary with LaTeX 2020-10-01 or later
\usepackage{xfp} % for \fpeval

\ExplSyntaxOn
% store the values of H_n in an array (up to 5000)
\fparray_new:Nn \g_aliano_harmonic_fparray { 5000 }
% initialize
\fparray_gset:Nnn \g_aliano_harmonic_fparray { 1 } { 1 }
% at each step add the reciprocal of the next number
\int_step_inline:nn { 5000-1 }
 {
  \fparray_gset:Nnn \g_aliano_harmonic_fparray { #1+1 }
   {
    \fparray_item:Nn \g_aliano_harmonic_fparray { #1 } + 1/(#1+1)
   }
 }
% this retrieves the value, rounding it to 5 decimal digits
\NewExpandableDocumentCommand{\harmonic}{m}
 {
  \fp_eval:n { round(\fparray_item:Nn \g_aliano_harmonic_fparray { #1 },5) }
 }
\ExplSyntaxOff

\begin{document}

\begin{tabular}{@{}rll@{}}
\toprule
\multicolumn{1}{@{}c}{$n$} &
\multicolumn{1}{c}{$H_n$} &
\multicolumn{1}{c@{}}{$H_n-\log n$} \\
\midrule
1    & \harmonic{1}    & \fpeval{round(\harmonic{1}-ln(1),5)} \\
10   & \harmonic{10}   & \fpeval{round(\harmonic{10}-ln(10),5)} \\
100  & \harmonic{100}  & \fpeval{round(\harmonic{100}-ln(100),5)}\\
1000 & \harmonic{1000} & \fpeval{round(\harmonic{1000}-ln(1000),5)}\\
5000 & \harmonic{5000} & \fpeval{round(\harmonic{5000}-ln(5000),5)}\\
\bottomrule
\end{tabular}

\end{document}

Wenn Sie mehr Begriffe benötigen, scheint die Verwendung von LuaTeX die einzig schnelle Alternative zu sein. Möglicherweise kann dies auch mit PythonTeX ausreichend schnell durchgeführt werden.