Beweis des No-Communication-Theorems

Question

Lassen $A, B$ seien (endlichdimensionale) Hilbert-Räume und $\rho$ ein gemischter Zustand von $A \otimes B$. Ich versuche zu zeigen, dass eine Messung am '$A$-subsystem 'hat keinen Einfluss $\rho^B = \text{Tr}_A(\rho)$.

Ich verstehe eine Messung, die am durchgeführt wurde $A$-subsystem 'wie von einigen beobachtbaren gegeben $X \otimes I$, wo $X$ ist ein selbstadjutierter Operator auf $A$ das zerfällt als $X = \sum m P_m$ (wo $P_m$ ist die orthogonale Projektion auf die $m$-eigenspace). Wenn diese Messung zum Ergebnis führt$m$sollte der resultierende Zustand sein

$$\rho' = \frac{(P_m \otimes I) \rho (P_m \otimes I)}{\text{Tr}((P_m \otimes I) \rho)}$$ und das möchte ich sehen $\text{Tr}_A(\rho') = \text{Tr}_A(\rho)$. Jetzt kann ich die Zyklizität der Spur nutzen, um das zu sehen

$$\text{Tr}_A(\rho') = \frac{\text{Tr}_A((P_m \otimes I) \rho)}{\text{Tr}((P_m \otimes I) \rho)}$$

aber warum sollte das gleich sein $\text{Tr}_A(\rho)$? Ich habe überprüft, ob dies der Fall ist, wenn$\rho = \rho^A \otimes \rho^B$zersetzt sich als Produkt. Und ich kenne einen General$\rho$wird eine lineare Kombination solcher Fälle sein; aber da die gewünschte Gleichheit nicht linear ist, scheint es nicht zu folgen, dass sie gilt (tatsächlich scheint sie anzuzeigen, dass sie nicht gilt). Hoffentlich kann jemand auf den Fehler in meinem Denken hinweisen.

Answer 1

Was du bezeichnet hast $\rho'$ ist nur ein $m$-th mögliches Ergebnis. Wir müssen schreiben$$ \rho'_m = \frac{(P_m \otimes I) \rho (P_m \otimes I)}{\text{Tr}((P_m \otimes I) \rho)}. $$ Nun, da Bob den Wert von nicht kennt $m$ er muss davon ausgehen, dass der neue Staat eine Mischung aus ist $\rho'_m$ mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten $\text{Tr}((P_m \otimes I) \rho)$. Also das eigentliche$\rho'$ ist $$ \rho' = \sum_m \rho'_m \text{Tr}((P_m \otimes I) \rho) = \sum_m (P_m \otimes I) \rho (P_m \otimes I). $$ Endlich können Sie das sehen $$ \text{Tr}_A(\rho') = \sum_m \text{Tr}_A((P_m \otimes I) \rho (P_m \otimes I)) = $$ $$ = \sum_m \text{Tr}_A(\rho (P_m \otimes I)) = \text{Tr}_A(\rho \sum_m (P_m \otimes I)) = \text{Tr}_A(\rho). $$

Answer 2

In der Tat gilt diese Gleichung nicht. Nehmen wir zum Beispiel$\rho = |\phi^+\rangle\langle \phi^+|$, wo $|\phi^+\rangle = \frac1{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle)$. Wenn Alice das Ergebnis 0 erhält, dann$\rho' = |00\rangle\langle 00|$, und $\rho^B = |0\rangle\langle0|$und wenn Alice Ergebnis 1 erhält, dann $\rho' = |11\rangle\langle 11|$, und $\rho^B = |1\rangle\langle1|$. Dies ist das typische Beispiel für die Nichtlokalität des Wellenfunktionskollapses.

Die Aussage der No-Kommunikation Satz ist , dass , wenn Sie im Durchschnitt über Alices Ergebnisse, dann wird das Ergebnis nicht auf das abhängt Mess sie gemacht, oder in der Tat , wenn sie eine Messung überhaupt gemacht. Dann lass es$$\rho_m = \frac{(P_m \otimes I) \rho (P_m \otimes I)}{\text{Tr}((P_m \otimes I) \rho)},$$ der kollabierte Zustand nach Erhalt des Messergebnisses $m$, und $$\rho^B_m = \operatorname{tr}_A (\rho_m).$$ Der Satz ist dann das $$\sum_m p(m) \rho^B_m = \rho^B = \operatorname{tr}_A\rho,$$ für alle möglichen Projektoren $P_m$oder sogar POVM-Elemente.