Beweise das $a^3 + b^3 + 3abc > c^3$

Question

Annehmen $a,b,c$sind die Seiten eines nicht entarteten Dreiecks. Beweise das$a^3 + b^3 + 3abc > c^3.$

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Ich dachte, dass diese Ungleichheit verdächtig aussah $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc,$ welche Faktoren als $(a + b + c) (a^2 - a b + b^2 - a c - b c + c^2).$Ich habe jedoch wenig bis gar keine Ahnung, wie ich das bekommen soll. Kann mir jemand einen Hinweis geben?

Answer 1

Mit Ihrem Hinweis müssen wir das beweisen: $$(a+b-c)(a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc)>0.$$ Kannst du es jetzt beenden?

$$a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc=b(b+c-a)+a^2+c^2+ac>0.$$