Beweise das $Nullity(AB)=Nullity(B)$ und $Range(AB)=Range(B)$

Question

Sei das Feld $K=\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$. $A \in K^{m\times n}$ ist eine Matrix, die einer linearen Transformation zugeordnet ist $A: K^n\rightarrow K^m$, wo $m,n \in Z_{+}$. Wir definieren:

\begin{align*} \operatorname{nullity} (A)=\dim (\ker A)&= \dim\left(\left \{ x \in K^n : Ax=0\right \}\right), \left \{ x \in K^n : Ax=0\right \} \subset K^n \\ \operatorname{range} (A)=\dim (\operatorname{Im}(A))&= \dim\left \{ y \in K^m, \exists x \in K^n : y=Ax \right \},\left \{\forall y \in K^m, \exists x \in K^n : y=Ax \right \} \subset K^m \end{align*}

1. Wenn $A\in K^{n\times n}$ ist eine invertierbare Matrix, beweisen Sie das $AB$ hat für jede Matrix die gleiche Nulität und Reichweite wie B. $B \in K^{n\times m}$
2. Wenn $m=n$Dies ist die Beziehung zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren der Matrizen $AB$ und $BA$.

Was ich für 1 getan habe, ist Folgendes:

\begin{align*} ABx=0 \iff& Bx=0 \text{ since, } A \text{ is invertible}\\ \iff& x\in \operatorname{ker}(B) \ \ \forall x \in \operatorname{ker}(B)\\ \\ \Rightarrow \operatorname{nullity}(AB)=&\dim(\operatorname{ker} (AB))=\dim(ker(B)) =\operatorname{nullity}(B) \end{align*}

Auf der anderen Seite haben wir das,

\begin{align*} \dim(K^m)=&\operatorname{nullity}(AB)+\operatorname{range}(AB)\\ \dim(K^m)=&\operatorname{nullity}(B)+\operatorname{range}(B) \end{align*}

Und auch, \begin{align*} \dim(AB)=\dim(B) \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \operatorname{nullity}(AB)=\operatorname{nullity}(B)\\ \\ \Rightarrow \operatorname{range}(AB)&=\operatorname{range}(B) \end{align*}

Hab ich recht? Oder was mache ich falsch?

Und für 2 bin ich mir nicht sicher, welche Beziehung zwischen den Eigenwerten und den Eigenvektoren der Matrizen AB und BA besteht.

Ich würde mich sehr über Ihre Hilfe freuen!

Answer 1

Die Argumente für (1) sind korrekt (meistens: Entfernen Sie die $b$ im $bBx=0$und ersetzen $\dim(B)$ durch $\dim(K^m)$.)

Nehmen wir für (2) an $ABv=\lambda v$, ($v\ne0$). Dann$$BA(Bv)=B(ABv)=\lambda Bv$$ so $Bv$ ist ein Eigenvektor von $BA$ mit Eigenwert $\lambda$, es sei denn $Bv=0$ (dh $\lambda=0$).
Umgekehrt, wenn$BAw=\mu w$ dann $Aw$ ist ein Eigenvektor von $AB$, es sei denn $Aw=0$.

Schlussfolgerung: Die Eigenwerte von $AB$ sind die gleichen wie die von $BA$, außer möglicherweise für die Null-Eigenwerte (kann in diesem Fall nicht sagen).