bezüglich eines Limits: explizite Erklärung erforderlich

Question

Wir haben, $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1} \forall p\in \mathbb{N}$$

Und das ist in Ordnung, aber ich bin mir nicht ganz sicher $p\in \mathbb{R}$, meine Frage ist, ist es wahr für $p\in \mathbb{R}$?

Ich habe versucht, den Wert dieses Grenzwerts in Symbolab Online Calculator zu berechnen $p =some$ $fraction$ $number$, aber es zeigt $0$als Antwort. Der Screenshot dieses Falls ist hier beigefügt.

Und

Kann mir jemand den Ansatz oder sogar einen Hinweis geben, um die oben genannte Zahl zu beweisen oder zu widerlegen?

Danke im Voraus!

Answer 1

Es ist für jeden wahr $p> -1$. Es ist eigentlich eine Riemannsche Summe:$$\frac{\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{n^{p+1}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{p}}{n^p}$$ für die Funktion $f(x)=x^p$mit Grenzen $0$ und $1$, daher konvergiert es zu $$\int_0^1\!\! x^p\,\mathrm dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}\Biggr\vert_0^1=\frac 1{p+1}.$$

Answer 2

HINWEIS

Verwenden Sie Stoltz-Cesaro , um zu erhalten

$$\frac{\sum_{k=1}^{n+1} k^{p}-\sum_{k=1}^{n} k^{p}}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}=\frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}}$$