Binomiale Identität mit negativen Werten

Question

Ich möchte diese Identität überprüfen, die in Fellers erstem Buch über Wahrscheinlichkeit erscheint:

$${2n\choose n}=(-1)^n4^n{-1/2\choose n}$$

Also wende ich diese Definition an

$${x\choose r}=\frac{x(x-1)(x-2)\ldots(x-r+1)}{r!}$$

erhalten

$$\frac{1/2(1/2-1)(1/2-2)\ldots(1/2-n+1)}{n!}=\frac{(-1)(-1)^{n-1}(1/2)(1/2+1)(1/2+2)\ldots(1/2+n-1)}{n!}\\=\frac{(-1)^n\left(\frac{1}{2}\right)^n(1+2)(1+4)(1+6)\ldots(1+2n-2)}{n!}$$

Aber ich kann nicht sehen, wie ich von hier aus vorankommen soll. Ich habe auch versucht, die Terme (1/2 + s) hinzuzufügen und dann die 2 im Nenner zu extrahieren, aber der Zähler ist eine Fakultät für ungerade Terme und ich stecke wieder fest. Vielen Dank.

Answer 1

Du bist so weit gekommen $${-1/2\choose n}=\frac{(-1)^n\left(\frac{1}{2}\right)^n(1+0)(1+2)(1+4)(1+6)\ldots(1+2n-2)}{n!}$$ obwohl Sie immer noch mit multiplizieren müssen $(-1)^n 4^n$. Schreiben Sie dies als$$(-1)^n4^n{-1/2\choose n}=4^n\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n \times 1 \times 3 \times 5 \times 7 \ldots\times (2n-1)}{ n!} \\ = 2^n \frac{ 1 \times 3 \times 5 \times 7 \ldots(2n-1)}{ n!} \times \frac{n!}{n!} \\ = \frac{ 1 \times 3 \times 5 \times 7 \ldots(2n-1)}{ n! } \times \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times 2n }{n!} \\ = \frac{(2n)!}{n!\,n!} \\= {2n \choose n}$$

Answer 2

Sie haben ein Produkt aus ungeraden Werten, multiplizieren jetzt sowohl Zähler als auch Diskriminator mit dem Produkt aus geraden Werten und schreiben mit dem Ausdruck neu

$$ (2n)!!=2^n n! $$