Bitte keine Algebra, wir sind Geometer

Question

Gegeben ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten $ABC$ mache zwei weitere rechtwinklige Dreiecke mit Seiten $A$ und $C$ (lange Seite) und eine neue lange Seite $x$(Gleiches gilt für beide neuen Dreiecke). Nach Pythagoras haben die implizierten dritten Seiten Längen$a$ und $c$ so dass $a^2+A^2 = x^2 = c^2+C^2$.

Jetzt kann ich mit etwas Algebra zeigen, dass wir ein Dreieck mit Seiten bilden können $aBc$ es muss auch richtig sein, nämlich: $B^2+c^2 = B^2 + x^2 - C^2 = x^2 - A^2 = a^2$

Aber das fühlt sich einfach falsch an, als würde ein Instrument an einem hellen Tag fliegen.

Können Sie

• entweder ordne die Figur so um, dass sie entsteht ($aBc$ ist richtig) offensichtlich
• oder machen Sie ein direktes geometrisches Argument
• oder eine Kombination von beiden?

Hinweis auf der Abbildung. Durch unglücklichen Zufall (Wortspiel beabsichtigt) scheint der lila Kreis durchzugehen$\angle AB$. Das ist nicht unbedingt der Fall. Der Kreis ist der Kreis$c$ um $\angle BC$

Answer 1

Betrachten Sie die dritte Dimension.

Angenommen, wir wählen einen Punkt in der Ebene durch$B$senkrecht zur Ebene des Dreiecks. Dadurch werden drei neue Dreiecke erstellt. Das Dreieck auf$A$ist immer richtig. (Das ist$Axa$.) Das Dreieck auf $C$ ist richtig bei $BC$ genau dann, wenn der Punkt direkt über dem Scheitelpunkt liegt $BC$ (dh die Linie durch den neuen Punkt und Scheitelpunkt $BC$ist senkrecht zur Ebene des ursprünglichen Dreiecks). (Das ist$Cxc$.) In diesem Fall das Dreieck auf $B$ ist auch klar richtig (auch bei $BC$). (Das ist$aBc$.)