Bodenfunktionsbegrenzung

Question

Von CMC:

Was ist die Summe des Quadrats der reellen Zahlen? $x$ für welche $x^2 - 20\lfloor x\rfloor + 19 = 0$?

Wir gebrauchen $\lfloor x\rfloor\le x<\lfloor x\rfloor+1$ und schließlich die Grenzen bekommen $1\le x\le19$ und $x\ge 18,x\le 2.$ Natürlich ist es möglich für $x$ keine ganze Zahl zu sein, wie finden wir also die anderen Lösungen als $19$ und $1$?

Jemand hat diese Lösung geschrieben:

$x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19 = 0$ Klar $x\geq \lfloor x \rfloor$ für alle echt $x$. So,$$x^2-20x+19 \leq x^2 - 20\lfloor x \rfloor + 19=0.$$ Was dazu führt $$1 \leq x \leq19.$$Ebenfalls $x^2=20\lfloor x\rfloor - 19$ was impliziert $\lfloor x \rfloor=1,17,18,19$.

Ich bin mir nicht sicher, wie wir kommen $\lfloor x\rfloor=17,18$ davon.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{x^{2} - 20\left\lfloor\,{x}\,\right\rfloor + 19 = 0}\,,\quad x = {\Large ?}}$

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Es ist klar, dass $\ds{\left\lfloor x\right\rfloor = {x^{2} + 19 \over 20} = m, \mbox{where}\ m \in \mathbb{N}_{\geq\ 1}\ \mbox{such that}\ x = \root{20m - 19}}$.

Dann, \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{m = \left\lfloor\,{\root{20m - 19}}\,\right\rfloor} \implies m \leq \root{20m - 19} < m + 1 \\[5mm] & \implies m^{2} \leq 20m - 19 < m^{2} + 2m + 1 \implies \left\{\begin{array}{lcl} \ds{m^{2} - 20m + 19} & \ds{\leq} & \ds{0} \\ \ds{m^{2} - 18m + 20} & \ds{>} & \ds{0} \end{array}\right. \\[5mm] &\ \mbox{with solutions}\quad 1 \leq m <\ \underbrace{9 - \root{61}}_{\ds{\approx 1.1898}}\ \quad\mbox{or}\quad \underbrace{9 + \root{61}}_{\ds{\approx 16.8102}}\ < m \leq 19 \\[5mm] &\ \implies m \in \braces{1,17,18,19} \implies \bbx{x \in \braces{1,\root{321},\root{341},19}} \\ & \end{align} mit $\ds{\root{321} \approx 17.9165}$ und $\ds{\root{341} \approx 18.4662}$. Bitte überprüfen Sie für$\ds{\color{red}{x < 0}}$.

Answer 2

$$x^2 - 20 \lfloor x \rfloor + 19 = 0$$

Die Intuition ist, dass die Lösungen nicht zu weit von den Lösungen von entfernt sind $x^2-20x+19=0$nämlich $x=1, 19$. Also mach weiter und drücke diese Intuition aus! Ich bin es nicht gewohnt, damit herumzuspielen$x-1 < \lfloor x \rfloor \le x$. Gehen wir also zu einer detaillierteren Methode über.

Lassen $n = \lfloor x \rfloor , u = x-n$. So$0\le u < 1$. $$(n+u)^2 - 20n + 19=0.$$ Erweitern bekommen wir $$u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)=0.$$ Wir wissen das $u \in [0,1)$. Diese Gleichung muss also in diesem Intervall eine Lösung haben. Wird es zwei haben? es würde bedeuten, dass die Summe dieser beiden Lösungen größer als 0 ist. Aber nach Vietas Theorem ist es nicht möglich. Daher gibt es genau 1 Lösung im Intervall$[0,1)$. Wenn diese Lösung genau 0 ist, dann$0^2 + 2n\cdot 0 + (n^2-20n+19)=0.$ So $n = 1,19$. Wenn nicht, sehen wir, dass die Funktion$f_n(u) = u^2 + 2nu + (n^2-20n + 19)$ muss das Vorzeichen genau einmal im Intervall ändern $(0,1)$. So$f(0)f(1) < 0.$ Das bedeutet $$(n^2-20n+19)(n^2-18n + 20)<0,$$ was wir berücksichtigen können: $$(n-19)(n-1)(n-1.1897..)(n-16.8102..) < 0.$$ (In der Praxis benötigen Sie nicht so viel Präzision, sondern nur den Integralteil.) Da $n$ ist eine ganze Zahl, $n=17, 18.$ (Können Sie sehen warum? Ich werde das auf Anfrage weiter erklären.)

Ersetzen $n=17$ und $n=18$erhalten wir Gleichungen für $u$beziehungsweise. Und dies wird zu regelmäßigen quadratischen Gleichungen.

Answer 3

Von $\lfloor x\rfloor=(x^2+19)/20\gt0$sehen wir, dass wir haben müssen $x\gt0$daher $x=\sqrt{20\lfloor x\rfloor-19}$(dh die positive, nicht die negative Quadratwurzel). Es folgt dem$x^2-20\lfloor x\rfloor+19=0$ hat eine (einzigartige) Lösung mit $\lfloor x\rfloor=n\in\mathbb{Z}^+$ dann und nur dann, wenn $n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1$. Mit allem in Sicht nicht negativ, haben wir

$$\begin{align} n\le\sqrt{20n-19}\lt n+1 &\iff n^2\le20n-19\lt n^2+2n+1\\ &\iff n^2-20n+19\le0\lt n^2-18n+20 \end{align}$$

Die erste quadratische Ungleichung in der letzten Zeile sagt es uns $1\le n\le19$;; der zweite sagt uns auch$n\lt9-\sqrt{61}$ oder $n\gt9+\sqrt{61}$, die seit $7\lt\sqrt{61}$, sagt uns auch $n\lt2$ oder $n\gt16$. Wir haben also vier Werte für$\lfloor x\rfloor=n$nämlich $1$, $17$, $18$, und $19$mit $20n-19$ für die entsprechenden Werte von $x^2$. Die Summe dieser Quadrate ist

$$(20\cdot1-19)+(20\cdot17-19)+(20\cdot18-19)+(20\cdot19-19)=20(1+54)-76=1024$$

(Die Tatsache, dass sich die endgültige Antwort als eine Macht von herausstellt $2$ ist sicherlich reiner Zufall.)