Call Center Poisson-Prozessfrage

Question

Anrufe kommen nach einem Poisson-Verfahren mit Tarif in einem Callcenter an $\lambda = 3$ pro Minute.

Angenommen, zwischen 12 Uhr und 12:30 Uhr gab es genau 60 Anrufe. Berechnen Sie anhand dieser Informationen die Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 Anrufen zwischen 12:30 Uhr und 13:00 Uhr.

Ich versuche den Poisson-Prozess zu verstehen. Da Ereignisse in disjunkten Zeitintervallen unabhängig sind, wäre es$P(X \ge 60 \mid Y = 60) = P(X \ge 60)*P(Y=60)/P(Y=60)$? Gehe ich richtig vor oder fehlt mir etwas?

Answer 1

Als @ DavidG.Stork-Kommentare können Sie ignorieren, was vor 12:30 Uhr passiert ist, solange Sie diese Informationen nicht zum Schätzen verwenden $\lambda.$

Deshalb lassen Sie $X \sim \mathsf{Pois}(\lambda = 90),$ wo die Rate $\lambda = 90$= (30 min) (3 / min). Dann willst du$P(X \ge 60) = 0.99967.$

Sie können diese genaue Antwort mit R erhalten, wobei ppoises sich um eine Poisson-CDF handelt, wie unten gezeigt. Einige statistische Rechner könnten im Wesentlichen die gleiche Berechnung durchführen.

1 - ppois(59, 90)
[1] 0.9996747

Sie könnten eine normale Annäherung an diese Poisson-Verteilung versuchen. $\mathsf{Norm}(\mu = 90, \sigma=\sqrt{90}),$ Standardisieren und verwenden Sie gedruckte CDF-Tabellen der Standardnormalen, um eine vernünftige Normalnäherung zu erhalten (mit Kontinuitätskorrektur).

Die normale Näherung von R, wobei pnormes sich um eine normale CDF handelt, wie unten gezeigt:

1 - pnorm(59.5, 90, sqrt(90))
[1] 0.9993477

Bei Verwendung normaler Tabellen erhalten Sie eine etwas weniger genaue Version dieser Näherung, da bei der Verwendung einer solchen Tabelle ein Rundungsfehler auftritt.

Die folgende Abbildung vergleicht $\mathsf{Pois}(\lambda=90),$ Zentren roter Kreise mit der Dichtefunktion von $\mathsf{Norm}(\mu=90, \sigma=\sqrt{90}).$

R-Code für Abbildung:

 curve(dnorm(x, 90, sqrt(90)), 0, 140, lwd=2, ylab="PDF", main="")
 abline(v=0, col="green2")
 abline(h=0, col="green2")
 k = 0:140; pdf=dpois(k, 90)
 points(k, pdf, col="red")
 abline(v = 59.5, col="blue", lwd=2, lty="dotted")