Cramer-Rao Untergrenze für $g(\lambda)$ = $e^{-\lambda}$ wann $x_i \sim Pois(\lambda)$

Question

Lassen $x_1 ... x_n$ Sein $Pois(\lambda)$, $\lambda>0$ und $n \geq 2$. Verwenden$W(X)=I(X_1=0)$ schätzen $g(\lambda)=e^{-\lambda}$. Zusätzlich,$T(X)= \sum_{i=1}^n X_i$ ist eine ausreichende Statistik für $\lambda$.

Das habe ich schon bewiesen $\phi(T(X))=(1-\frac{1}{n})^{\sum_{i=1}^n X_i}$ ist ein unvoreingenommener Schätzer von $e^{-\lambda}$.

Ich möchte beweisen, ob $\phi(T(X))$ erreicht die Cramer-Rao-Untergrenze, aber ich verliere mich beim Versuch, sie durch Anwendung der Definition zu berechnen.

Answer 1

Berechnen wir zunächst die Varianz von $\phi(T(X))$::

$$\begin{align} \mathbb E[\phi(T(X))^2]&=\sum_{k=1}^\infty \frac{e^{-n\lambda}(n\lambda)^k}{k!}\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2k}\\ &=e^{-n\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{(n\lambda)^k}{k!}\left(1-\frac 2n+\frac 1{n^2}\right)^k\\ &=e^{-n\lambda}\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}\left(n\lambda-2\lambda+\frac{\lambda}{n}\right)^k\\ &=e^{-n\lambda}\cdot e^{n\lambda-2\lambda+\frac\lambda n}\\ &=e^{\lambda\left(\frac{1}{n}-2\right)} \end{align}$$

Und mit der Tatsache, dass $\phi(T(X))$ ist unvoreingenommen:

$$\begin{align} \text{Var}(\phi(T(X)))&=\mathbb E[\phi(T(X))^2]-\mathbb E[\phi(T(X))]^2\\ &=e^{\lambda\left(\frac{1}{n}-2\right)}-e^{-2\lambda}\\ &=e^{-2\lambda}\cdot\left(e^{\lambda/n}-1\right) \end{align}$$

Jetzt müssen wir dies mit der Cramér-Rao-Bindung vergleichen. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist gegeben durch:

$$\begin{align} \ell(\lambda)&=\sum_{i=1}^n\log\left(\frac{e^{-\lambda}\lambda^{X_i}}{X_i!}\right)=-n\lambda + \log(\lambda)T(X)-\sum_{i=1}^n\log(X_i!) \end{align}$$

Dann können wir die Fisher-Informationen erhalten:

$$\begin{align} \mathcal I_F&=-\mathbb E\left[\frac{\partial^2\ell(\lambda)}{\partial\lambda^2}\right]=\mathbb E\left[\frac{T(X)}{\lambda^2}\right]=\frac n\lambda \end{align}$$

Schließlich machte sich der Cramér-Rao auf den Weg nach $g(\lambda)$ ist:

$$\frac{g'(\lambda)^2}{\mathcal I_F}=\frac{e^{-2\lambda}}{n/\lambda}=\frac{\lambda}{n}e^{-2\lambda}$$

Dies unterscheidet sich von der zuvor gefundenen Varianz, sodass der von Ihnen gefundene Schätzer die Cramér-Rao-Grenze nicht erreicht . Mit der Taylor-Erweiterung können Sie auch beweisen, dass Ihr Schätzer asymptotisch effizient ist, dh die Varianz des Schätzers ist asymptotisch gleich der Cramér-Rao-Grenze.

Hoffe es war hilfreich!