Definition eines Faktors

Question

Jetzt war ich immer ziemlich fasziniert von Fakultäten. Zuerst sagten mir die Lehrer in der High School, dass Fakultäten nur für ganze Zahlen definiert sind. Während ich studierte, fand ich Fakultäten für positive Realzahlen und negative Brüche. Aber das Integral, mit dem wir Fakultät definieren, fällt flach auf die negativen ganzen Zahlen.

Warum können wir die Fakultät von (-1/2) und Wurzel (3) finden, aber nicht für -1 oder -2? Verstößt dies gegen die Definition einer Fakultät? Wenn ja, was ist die Definition einer Fakultät, weil Kinder sie nie lernen und sie ihre Argumentation und Wahrnehmung des Themas trübt.

Answer 1

Kindern wird nur die Fakultät der Natur beigebracht, weil die Definition elementar ist (obwohl $0!=1$ verdient besondere Kommentare).

Wenn Sie es auf Real erweitern möchten, ist ein natürlicher Weg mit dem Integral

$$I_n=\int_0^\infty x^ne^{-x}dx$$ wie es die Wiederholung überprüft

$$I_n=\int_0^\infty x^ne^{-x}dx=-\left. x^ne^{-x}\right|_0^\infty+n\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}dx=nI_{n-1}$$ und $I_n=n!$.

Da behält das Integral eine Bedeutung mit $n$ positiv real, dies wird für die Erweiterung genommen.

Nun zu den Negativen ist es sinnvoll, die Wiederholung beizubehalten

$$(n-1)!=\frac{n!}n,$$ was zu unendlichen Werten für die negativen ganzen Zahlen führt.

Answer 2

Die rekursive Definition der Fakultät $(n+1)! = n! \cdot (n+1)$ kann neu angeordnet werden, um abzuleiten $$n! = \dfrac{(n+1)!}{n+1}$$

Dies ist eine Möglichkeit, dies herauszufinden $0!=1$nehmen $n=0$in obigem. Wenn wir jedoch versuchen, dies zu tun$(-1)!$, wir bekommen ein Problem: $$(-1)! = \dfrac{(-1+1)!}{-1+1} = \dfrac{0!}{0} = \dfrac{1}{0}$$

Aber wir können uns nicht teilen $0$können wir also nicht definieren $(-1)!$.

Wie in den Kommentaren erwähnt, ist die Gammafunktion $\Gamma$ ist der "richtige" Weg, um die Fakultät auf Nicht-Ganzzahlen auszudehnen. $\Gamma$ divergiert bei den negativen ganzen Zahlen, da es erforderlich ist, zu erfüllen $\Gamma(n+1) = \Gamma(n) \cdot (n+1)$Es gilt also das gleiche Argument wie oben.