Definition eines Polynomrings, K [X], K [Y]

Question

Im Internet habe ich einige Definitionen eines Polynomrings gefunden, mit denen ich mich nicht wirklich identifizieren kann, was ein Polynom ist.

Was ich finde, ist DEF: Sagen wir in einem Feld $K$, der Polynomring $K[X]$ist die Menge aller "fast alle Null" -Sequenzen (französische Terminologie). (mit Sequenzkoeffizienten in$K$) (fast null: Die Folge von "$P$ Koeffizienten ", dh Null, wenn der Sequenzindex überläuft $\deg(P)$)

Das Problem für mich ist, dass mit dieser Definition $K[X]=K[Y]$in Bezug auf die Symbolik, da beide die "Menge aller" fast alle Nullsequenzen sind (mit Sequenzkoeffizienten in$K$) "

Mit dieser Definition scheint keine klare Rolle eingeräumt zu werden $X$ und $Y$. Kann ich Ihre Meinung dazu haben?

Francis

Answer 1

Bourbakis Definition ist, dass der Polynomring in einem mit Koeffizienten in einem kommutativen Ring unbestimmt ist $R$ist das Set $R^{(\mathbf N)}$ von Folgen von Elementen von $R$mit endlicher Unterstützung , dh$\:\operatorname{Supp}\bigl((a_n)\bigr)=\{n\in\mathbf N\mid a_n\ne 0\}$ist eine endliche Menge. Diese Menge ist mit einer termweisen Addition und einer Multiplikation ausgestattet, die definiert sind als$$\bigl((a_n)\cdot (b_n)\bigr)_k=\sum_{i+j=k}a_ib_j$$ Der Ablauf $(0,1,0,\dots,0,\dots)$ wird normalerweise bezeichnet $X$und es kann gezeigt werden, dass $$X^2=(0,0,1,0,0,\dots), \quad X^3=(0,0,0,1,0,\dots),\quad \text{&c.}$$ Infolgedessen kann jedes Polynom als endliche lineare Kombination von Potenzen von geschrieben werden $X$.

In ähnlicher Weise ist der Polynomring in zwei unbestimmten Mengen die Menge $\:R^{(\mathbf N\times\mathbf N)}$von doppelt indizierten Sequenzen mit endlicher Unterstützung und einer Ad-hoc- Addition und Multiplikation.