Der Beweis der Kräfte eines Elements ist unterschiedlich.

Question

In einem abstrakten Algebra-Lehrbuch von "Dummit and Foote" gibt es ein gruppentheoretisches Problem bei 1,32. Das Problem geht so:

"Wenn $x$ ist ein Element endlicher Ordnung $n$ im $G$beweisen, dass die Elemente $1$ , $x$ , $x$^$2$ , $x$^$3$ , $x$^$4$ , ....., $x$^$(n-1)$ sind alle verschieden $|x|$ $\le$ $|G|$. ""

Mein Versuch : Nehmen wir an, es gibt zwei Zahlen$a$ und $b$ und sie folgen dieser Ungleichung:

$0$ $\le$ $a$ $\lt$ $b$ $\le$ $(n-1)$

Nehmen wir an, dass:
$x$^$a$ = $x$^$b$
$\rightarrow$ $x$^$(b-a)$ $=$ $1$
$\rightarrow$ $x$^$(b-a)$ $=$ $x$^$n$

So , $(b-a) = n$

Andererseits kann ich aus der Ungleichung das ableiten $(b-a)$ $\lt$ $n$ Was ein Widerspruch ist. $x$^$a$ $\neq$ $x$^$b$

Auf der anderen Seite, wenn $|x|$ $>$ $|G|$ , Dann $x$ kann deutlichere Elemente erzeugen als die Gruppe selbst, was niemals möglich ist. $|x|$ $\le$ $|G|$.

Verwirrung: Zunächst einmal ist die Frage für mich unklar, ob ich die Reihenfolge wähle$x$ sein $0$ oder $1$.Weil wenn $|x|$ ist $0$ oder $1$ , dann , $x = e$ und alle Kräfte von $e$ sind gleich ($e$). Das Problem sagt mir nicht, von welchen Werten$n$ Kann mir jemand sagen, was das ist?

Außerdem scheint mein Versuch sehr handgewellt zu sein. Gibt es eine Möglichkeit, den Beweis mit formaler Logik rigoros zu schreiben , und wo liegen die Hauptmängel meines Beweises? . (Ich frage dies, weil ich in Zukunft lernen möchte, wie man richtige Beweise schreibt und formale Logik lernt).

Answer 1

Wenn Sie beweisen möchten, dass unterschiedliche Kräfte unterschiedlichen Elementen entsprechen, möchten Sie durch Annahme einen Widerspruch erzielen $\exists a,b, 0\le a<b\le n-1$, so dass $x^a=x^b$. Dies ist in der Tat der Fall, weil letzteres das bedeuten würde$\exists l(:=b-a), 0<l\le n-1$, so dass $x^l=1$gegen die Minimalität von $n$(per Definition der Reihenfolge eines Elements ).

Nun, durch Verschlussaxiom, $\langle x\rangle :=\{1,x,\dots,x^{n-1}\}\subseteq G$woher $|x|:=|\langle x\rangle|\le |G|$.

Answer 2

"Wenn x ein Element endlicher Ordnung n in G ist, beweisen Sie, dass die Elemente 1, x, x2, x3, x4, ....., x (n - 1) alle verschieden sind. Nehmen Sie an, dass | x | ≤ | G |. "

Nehmen wir das für zwei Elemente an $x^a,x^b$ in der zyklischen Gruppe von x (wo $0\leq a<b\leq n$), $x^a=x^b$.

1. wenn $a=0$: durch die Annahme und Definition des ersten Elements in einer zyklischen Gruppe, $x^a=x^b=1$. Daher finden wir (per Definition einer endlichen zyklischen Gruppe), dass unsere zyklische Gruppe von Größe ist$b-1<b\leq n \rightarrow |x|<n$, während per Definition, $|x|=n$ein Widerspruch.
2. sonst ($a>0$): Wir haben eine zyklische Untergruppe $AB=\{x^a,x^{a+1},...,x^{b-1}\}$, und seit $0<a<b\leq n$Keines unserer Elemente im Zyklus enthält ein Identitätselement, was bedeutet, dass es sich um eine unendliche zyklische Gruppe handelt. Und seit$AB \subset X$Wir finden, dass auch x von unendlicher Ordnung ist, ein Widerspruch zu der Definition, dass x von endlicher Ordnung ist.

Daher ist die anfängliche Annahme, dass X zwei identische Elemente in seiner zyklischen Gruppe enthält, falsch.
Schlussfolgerung (1): Xs zyklische Gruppenelemente$1,x,x^2,x^3,x^4,.....,x^{(n−1)}$ sind alle verschieden. $\blacksquare$

Von hier aus annehmen $|x|>|G|$. Denken Sie daran, dass für jedes Element$a\in x, a\in G$.
Nach dem Pigeonhole-Prinzip muss die zyklische Gruppe von x im Gegensatz zum Beweis (1) mindestens ein identisches Wertepaar aus G enthalten. Daher muss unsere ursprüngliche Annahme falsch sein.
Schlussfolgerung (2):$|x|\leq |G| \blacksquare$