Die "Elemente" einer reellen Zahl
Diese Frage ist im Wesentlichen eine Umschreibung einer separaten (gelöschten) Frage, die über einen Kommentar von Asaf Karagila zu den "Elementen von" spricht$\pi$".
Ich bin mir bewusst, wie natürliche Zahlen können als Menge betrachtet , so zum Beispiel$3$ kann als Satz angesehen werden $\{\:\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$hat auch Elemente $\emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}$. Dies scheint ziemlich konkret und natürlich.
Ich kann sehen, dass wir dies anpassen können, um mit den ganzen Zahlen umzugehen, indem wir zum Beispiel eine zweite leere Menge als "Marker" -Element hinzufügen (so $-3$ entspricht $\{\:\emptyset, \emptyset, \{\emptyset\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\:\}$). Ich kann auch sehen, dass wir diese "Marker" -Idee anpassen können, um mit den rationalen Zahlen umzugehen (die Paare von ganzen Zahlen sind, und wir "markieren" die obere und die untere auf eine bestimmte Weise). Allerdings werde ich hier bereits nervös, da dies viel synthetischer erscheint, als wir die natürlichen Zahlen gesehen haben.
Wie auch immer. Mir ist nicht klar, wie eine Zahl gefällt$\pi$ oder $e$kann Elemente haben. Eine Möglichkeit könnte darin bestehen, diese Zahlen als Grenzen von Sequenzen und damit als Listen rationaler Zahlen zu betrachten. Dies scheint jedoch verdächtig zu sein, da diese Zahlen Grenzen von Mehrfachsequenzen darstellen. Dies gibt mir also keine kanonische Menge, die diese Zahlen darstellt, sondern eine Familie von Mengen. Ist das in Ordnung oder ist meine Argumentation gebrochen?
Ich möchte also fragen:
Was sind die Elemente von $e$?
Oder macht diese Frage subtiler Sinn, oder sollten wir das Wort "das" daraus entfernen?
Antworten
Was sind die genauen Bits in der Zeichenfolge, auf die ich antworte? Nun, das hängt davon ab, wie Sie es codieren. Ist es ein UTF-8 oder vielleicht UTF-16 oder vielleicht ist es ASCII. Möglicherweise verwenden Sie einen Browser, der Zeichenfolgen als nullterminierende Sequenzen darstellt, oder es handelt sich um einen komplexeren Objekttyp.
Der Punkt ist, dass diese Textfolge, die Sie gerade lesen, eine Vielzahl von Möglichkeiten hat, alle gültig und alle auf ihre eigene Weise nützlich, um eine Folge von Bits im Speicher Ihres Computers zu werden.
Ebenso sind reelle Zahlen, wie die meisten Menschen normalerweise denken, nur eine abstrakte Einheit. Wie eine Textfolge. Die Mengenlehre und in der Tat jede Grundlage der Mathematik implementiert diese abstrakten Entitäten als Mengen (oder auf andere Weise in anderen Grundlagen). Welches sind die genauen Mengen, die die reellen Zahlen sind? Das hängt davon ab, wie Sie sie implementieren.
Die sogenannte Standardroute bei den reellen Zahlen und $\sf ZFC$ (und die damit verbundenen Mengen-Theorien) wären:
- Korrigieren Sie eine Codierung geordneter Paare, normalerweise die Kuratowski-Paarung.
- Verwenden $\omega$, die am wenigsten unendliche Ordnungszahl, um die natürlichen Zahlen zu modellieren.
- Definieren $\Bbb Z$ als Quotient von $\omega\times\omega$ auf algebraische Weise.
- Definieren $\Bbb Q$ als Quotient von $\Bbb{Z\times Z}$ auf algebraische Weise.
- Definieren $\Bbb R$ als Abschluss von $\Bbb Q$, was im Fall der Mengenlehre über Dedekind-Schnitte etwas natürlicher ist.
In diesem Fall sind die Elemente von $e$oder in der Tat jede reelle Zahl sind rationale Zahlen kleiner als $e$. Aber was sind die rationalen Zahlen? Nun, das sind Sätze von Paaren von ganzen Zahlen, die selbst Sätze von Paaren endlicher Ordnungszahlen sind, die selbst eine ziemlich gut verstandene Struktur haben.
Dies ist jedoch nicht die einzige Möglichkeit, die reellen Zahlen zu codieren. Wir können einen anderen Weg wählen, um geordnete Paare zu codieren, oder wir können die Cauchy-Vervollständigung unter Verwendung von Äquivalenzklassen von Cauchy-Sequenzen rationaler Zahlen verwenden. Wir können die ganzen Zahlen unterschiedlich codieren oder uns entscheiden, von zu wechseln$\omega$ zu den nicht negativen rationalen Zahlen und erst dann die negativen einführen.
Es gibt viele, viele Möglichkeiten, eine reelle Zahl in Mengen zu codieren. Tatsächlich können wir einfach jede Größe nehmen$2^{\aleph_0}$Führen Sie "die Standardroute" aus und verwenden Sie dann eine Bijektion, um diese Codierung vorzunehmen. In der Mengenlehre werden reelle Zahlen oft betrachtet als:
- Teilmengen von $\omega$.
- Funktionen von $\omega$ zu $\omega$.
- Funktionen von $\omega$ zu $2$.
- Eine Kombination der oben genannten Sätze.
Dies ist kontextabhängig. Genauso wie die Frage, ob die Zeichenfolge, die Sie lesen, auf die eine oder andere Weise dargestellt wird oder nicht, davon abhängt, welchen Browser Sie verwenden, welches Betriebssystem Sie verwenden usw.
Also zu Ihrer Frage sind die Elemente von$e$? Nun, das hängt davon ab, welches Set es ist$e$.
Lassen Sie uns nach Dedekind jede reelle Zahl als eine nach unten geschlossene richtige Teilmenge der Rationalen ohne das größte Element modellieren. Dann$$e=\{x\in\mathbb Q:x<2.7\dots\}=\left\{\frac01,\frac11,-\frac11,\frac21,-\frac21,\frac12,-\frac12,-\frac31,\frac13,-\frac13,\frac23,-\frac23,\frac32,-\frac32,-\frac41,\dots\right\}$$
Dies hängt davon ab, wie Sie die reellen Zahlen definieren.
Die Cauchy-Sequenzmethode zur Definition der Reals ist etwas komplizierter als der Dedekind-Ansatz. Eine reelle Zahl in dieser Definition ist eine Äquivalenzklasse von Cauchy-Sequenzen rationaler Zahlen.
Dies bedeutet, dass ein Element eine einzelne Cauchy-Sequenz ist $(x_n)_{n=1}^{\infty}$ von rationalen Zahlen, die konvergieren $e,$ oder weniger zyklisch gegeben:
$$e_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$$ wir haben $(x_n)_{n=1}^{\infty}\in e$ wenn $x_n-e_n\to 0.$
Die Standardkonstruktion bereits von $\Bbb Z$ von $\Bbb N$unterscheidet sich von Ihrer Ad-hoc-Idee (die aber vielleicht viel schlanker ist). Wir werden auf diesem Weg stark Paare und Äquivalenzbeziehungen verwenden. Denken Sie also daran, dass für Paare möglicherweise Kuratowskis Definition verwendet wird$$ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$$ Wir definieren als Menge von Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen, $$\Bbb Z:=\Bbb N^2/{\sim}$$ wo $$ (a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c.$$ Und wir spritzen $\Bbb N\to \Bbb Z$ über $n\mapsto \overline{(n,0)}$. Mit diesem,$0\in\Bbb Z$ ist das Set $$\tag1\{\,(n,n)\mid n\in\Bbb N\,\}=\{\,\{\{n\}\}\mid n\in\Bbb N\,\}=\{ \{\{\emptyset\}\}, \{\{ \{\emptyset\} \}\}, \{\{\{ \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \}\}\},\ldots\} $$ und schon viel komplexer als die $0=\emptyset\in\Bbb N$ wir hatten vorher.
Als nächstes würden wir normalerweise definieren $\Bbb Q$ als Äquivalenzklassen von Ganzzahlpaaren, $$ \Bbb Q:=\Bbb Z\times(\Bbb Z\setminus 0_{\Bbb Z})/{\sim}$$ wo diesmal $$(a,b)\sim (c,d)\iff ad=bc. $$ Und wir spritzen $\Bbb Z\to \Bbb Q$ über $k\mapsto \overline{(k,1)}$.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um in die Realität zu gelangen. Ich würde Dedekind-Schnitte vorschlagen, aber anders als in der ursprünglichen Arbeit von Dedekind (Paare von Rationalitätspaaren) würde ich vorschlagen, nur einzelne Rationalisierungssätze (mit bestimmten Eigenschaften) zu verwenden.$$\Bbb R:=\{\,A\in\mathcal P( \Bbb Q)\mid A\ne\emptyset\land A\ne\Bbb Q\land \forall x\in A,\exists y\in A, y>x\land \forall x\in A,\forall y\in \Bbb Q,y<x\to y\in A\,\}.$$
Damit sind die Elemente von $\pi$ sind einfach alle rationalen Zahlen $<\pi$ (zum Beispiel $3$ oder $\frac{22}7$ oder $-42$). Speziell$0$ ist so ein Element, aber es ist nicht $0=0_{\Bbb N}=\emptyset$noch die $0_{\Bbb Z}$ beschrieben in $(1)$ oben, aber die Äquivalenzklasse der Brüche $\{\,(0_{\Bbb Z},n)\mid n\in\Bbb Z, n\ne0_{\Bbb Z}\,\}$.