Die Ganzzahlfolge A178157

Question

http://oeis.org/A178157

A178157 ist eine Zahlenfolge, die Zahlen beschreibt, die durch alle ihre Präfixe teilbar sind. Zum Beispiel ist 2020 in der Reihenfolge, weil 2020 durch 2, 20 und 202 (und 2020) teilbar ist. Ich bemerkte jedoch nach 100, dass alle Zahlen in der Sequenz mit einer Null enden. Meine Frage ist also, gibt es eine Zahl in der Sequenz A178157 größer als 100, die nicht mit einer Null endet?

Mein eigener Fortschritt:

Ein Freund von mir schrieb einen Code und überprüfte alle Zahlen bis zu 100 Millionen ohne Glück. Gibt es einen Beweis dafür, dass alle Zahlen größer als 100 in dieser Reihenfolge mit einer Null enden müssen?

Der einzige Hinweis, den ich mir vorstellen konnte, um zu beweisen, dass die Zahl auch keine Nullen enthalten darf, da es ein Suffix geben würde, das mit einer Null endet.

Interessanterweise gibt es eine ähnliche Sequenz, A178158, die die Suffixe anstelle der Präfixe betrachtet, und es gibt viele große Zahlen in der Sequenz, die keine Nullen enthalten. Beispielsweise ist 53125 durch 5, 25, 125, 3125 teilbar , (und 53125). Keine der Zahlen in dieser Sequenz endet mit einer Null, was viel einfacher zu beweisen ist, da das erste Präfix Null ist und Sie nicht durch Null teilen können.

Answer 1

Die Antwort ist, dass eine solche dreistellige oder mehrstellige Nummer mit enden muss $0.$

Wenn $n\geq 10$ dann für $10n+d$ teilbar sein durch $n,$ du musst haben $d$ teilbar durch $n.$ Aber wenn $d$ ist also eine Ziffer $0\leq d<10\leq n,$ also das einzig mögliche $d$ ist $0.$

Dieses Argument funktioniert in jeder Basis.

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Wie Ross in Kommentaren erwähnt hat, wenn die Nummer hat $2k+1,$ oder mehr Ziffern, es muss in enden $k$ Nullen.

Dies kann durch ein ähnliches Argument oder durch Verwendung von base gesehen werden $10^k,$ unter Hinweis darauf, dass jede Zahl, die die Eigenschaft für die Basis erfüllt $10$ ist auch eine Nummer für Basis $10^k,$ und eine Nummer mit $2k+1$ oder mehr Ziffern in der Basis $10$ ist $3$ oder mehr Ziffern in der Basis $10^k.$

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Unabhängig von der Frage, aber bei einer solchen Zahl können wir nicht nur Nullen am Ende hinzufügen, sondern auch Nullen direkt vor der letzten Ziffer ungleich Null. Das heißt, wenn$$n=d_1d_2d_3\dots d_k\underbrace{0\dots0}_{p\text{ times}}$$ dann können wir eine Zahl ungleich Null von finden $0$ dazwischen hinzufügen $d_{k-1}$ und $d_k.$

Speziell, $$n_1=d_1\dots d_{k-1}\underbrace{0\dots 0}_{m\text{ times}} d_k$$ dann $$10^{m+1}n-n_1=d_k(10^{m+1}-1)\cdot 10^p$$

Nun, wenn $f(N)$ ist die Anzahl von $N$ mit allen Faktoren von $2$ und $5$ entfernt, können Sie definieren $$D=\operatorname{lcm}\left(f(d_1),f(d_1d_2),\cdots,f(d_1d_2\dots d_{k-1})\right)$$

Dann können Sie definieren $m$ eins weniger sein als die Ordnung von $10$ Modulo $D.$

Zum Beispiel mit $n=14490000$ du hast $$\operatorname{lcm}\left(f(1),f(14),f(144)\right)=\operatorname{lcm}(1,7,9)=63.$$

Die Reihenfolge von $10$ mod $9$ ist $1,$ Sie brauchen also nur die Reihenfolge von $10$ mod $7,$ und das ist $6$, und $m$ ist $5.$ Dann:

$$144000009\cdot 10^9$$

Sie müssen die rechte Seite auch mit Nullen auffüllen.