Differentialgleichung \ höherer Ordnung

Question

Ich brauche Hilfe bei der Lösung dieser Aufgabe. Wenn jemand ein ähnliches Problem hätte, würde es mir helfen.

Die Aufgabe ist: Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung

$$ y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 x$$

Für homogen bekomme ich:

$$y_H=c_1e^{2x}+c_2e^{-x}$$

Ich habe ein Problem mit dem Besonderen, ich habe versucht:

$$y=(A\sin^2x+B\cos^2x)e^{2x}\\y'=(2A\sin x \cos x + 2B \sin x \cos x) e^{2x} +(A\sin^2 x + B \cos ^2 x) 2e^{2x}\\y''=2e^{2x}(2A \sin x \cos x - 2B \sin x \cos x + A\sin^2 x +B \cos^2 x)$$

Ich habe keine Ahnung, ob das richtig ist?

Ich weiß nicht, was als nächstes von hier kommt.

Danke im Voraus !

Answer 1

$$y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 (x)$$ Schon seit $r^2-r-2=(r+1)(r-2)$, Lassen $y=e^{2x}\,z$ zu machen $$z''+3z'=\cos^2 (x)=\frac 12+\frac 12 \cos(2 x)$$ Reduzierung der Bestellung $p=z'$ erhalten $$p'+3p=\frac 12+\frac 12 \cos(2 x)$$ Machen $p=q+\frac 16$ $$q'+3q=\frac 12 \cos(2 x)\implies q=c_1 e^{-3 x}+\frac{1}{26} (2 \sin (2 x)+3 \cos (2 x))$$ $$p=z'=\frac 16+c_1 e^{-3 x}+\frac{1}{26} (2 \sin (2 x)+3 \cos (2 x))$$ $$z=\frac 16 x +c_2 e^{-3 x}+\frac{1}{52} (3 \sin (2 x)-2 \cos (2 x))+c_3$$ $$y=e^{2x}\,z=\frac 16 xe^{2x}+c_2 e^{- x}+\frac{1}{52} (3 \sin (2 x)-2 \cos (2 x))e^{2x}+c_3e^{2x}$$ Machen Sie es durch Faktorisierung einfacher.

Answer 2

Ihre homogene Lösung ist richtig.

Beachten Sie, dass $\cos^2(x)=\frac{1}{2}(1+\cos(2x))$Daher sollte die jeweilige Lösung die Form haben $$y_{p}(x)=Axe^{2x}+Be^{2x}\cos(2x)+Ce^{2x}\sin(2x).$$

Ersatz finden wir das $A=\frac{1}{6}$, $B=-\frac{1}{26}$ und $C=\frac{3}{52}$.

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$$y'_p=2C\mathrm{e}^{2x}\sin\left(2x\right)-2B\mathrm{e}^{2x}\sin\left(2x\right)+2C\mathrm{e}^{2x}\cos\left(2x\right)+2B\mathrm{e}^{2x}\cos\left(2x\right)+2Ax\mathrm{e}^{2x}+A\mathrm{e}^{2x}$$

und $$y''_p=\mathrm{e}^{2x}\left(-2\left(2C+2B\right)\sin\left(2x\right)+2\left(2C-2B\right)\cos\left(2x\right)+2A\right)$$ $$+2\mathrm{e}^{2x}\left(\left(2C-2B\right)\sin\left(2x\right)+\left(2C+2B\right)\cos\left(2x\right)+2Ax+A\right)$$

Also haben wir $$y''_p-y'_p-2y_p$$ $$=e^{2x}\big[\cos(2x)(4C-4B+4C+4B-2C-2B-2B)+\sin(2x)(-4C-4B+4C-4B-2C+2B-2C)+2A+4Ax+2A-2Ax-A-2Ax\big]$$ $$=e^{2x}\big[\cos(2x)(6C-4B)+\sin(2x)(-4C-6B)+3A\big]$$ $$=\frac{e^{2x}}{2}(1+\cos(2x)).$$

Also haben wir $3A=\frac{1}{2}\implies A=\frac{1}{6}$, $6C-4B=\frac{1}{2}$ und $-4C-6B=0$ welche geben $C=\frac{3}{52}$ und $B=-\frac{1}{26}$.

Answer 3

Wir müssen lösen $$\text{ODE:}\quad \boxed{y''-y'-2y=e^{2x}\cos^{2}(x)}$$ Die allgemeine Lösung wird die Summe aus komplementärer Lösung und bestimmter Lösung sein $$\text{solution general=solution complementary+particular solution}$$Es ist $$y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)$$

Komplementäre Lösung: Wir müssen lösen$$y''-y'-2y=0$$Lassen $y=e^{rx}$, also haben wir $$(r^{2}-r-2)e^{rx}=0 \implies (r-2)(r-1)=0 \implies r=-1 \quad \vee \quad r=2$$. Wir haben also die grundlegende Set-Lösung$\{e^{-x},e^{2x}\}$. Deshalb$$\boxed{y_{c}(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{2x}}$$ wo $c_{1},c_{2}$ sind Konstanten.

Besondere Lösung: Mit Methode der unbestimmten Koeffizienten, so haben wir$$y''-y'-2y=e^{2x}\cos^{2}(x) \iff y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}+\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$$ Die bestimmte Lösung ist die Summe der bestimmten Lösungen zu $$y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}$$ und $$y''-y'-2y=\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$$ Nun die besondere Lösung zu $y''-y'-2y=\frac{e^{2x}}{2}$ ist von der Form $y_{p_{1}}(x)=x(a_{1}e^{2x})$ wo $a_{1}e^{2x}$ wurde multipliziert mit $x$ zu erklären $e^{2x}$ in der ergänzenden Lösung.

Und die besondere Lösung für $y''-y'-2y=\frac{1}{2}e^{2x}\cos(2x)$ ist von der Form $y_{p_{2}}(x)=a_{2}e^{2x}\cos(2x)+a_{3}e^{2x}\sin(2x)$. Nun, Summe$y_{p_{1}}$ und $y_{p_{2}}$ erhalten $y_{p}$heißt es $$y_{p}(x)=a_{1}xe^{2x}+a_{2}e^{2x}\cos(2x)+a_{3}e^{2x}\sin(2x)$$

Löse nach den unbekannten Konstanten $a_{1},a_{2}$ und $a_{3}$ wir haben $$a_{1}=\frac{1}{6}, \quad a_{2}=-\frac{1}{26} \quad \text{and} \quad a_{3}=\frac{3}{52}$$ Also haben wir $$\boxed{y_{p}(x)=\frac{1}{6}xe^{2x}-\frac{1}{26}e^{2x}\cos(2x)+\frac{3}{52} e^{2x}\sin(2x)}$$ Schließlich $$\color{blue}{\boxed{y(x)=c_{1}e^{-x}+c_{2}e^{2x}+\frac{1}{6}xe^{2x}-\frac{1}{26}e^{2x}\cos(2x)+\frac{3}{52} e^{2x}\sin(2x)}}$$wo $c_{1}$ und $c_{2}$ sind Konstanten.

Answer 4

$$y''-y' - 2y=e^{2x} \cos^2 x$$ $$y''e^{-2x}-2y'e^{-2x} +y'e^{-2x}- 2ye^{-2x}=\cos^2 x$$ $$(y'e^{-2x})' +(ye^{-2x})'=\cos^2 x$$ $$(e^{-2x}(ye^{x})')'=\cos^2 x$$ $$(e^{-2x}(ye^{x})')'=\dfrac 12(\cos(2 x)+1)$$ Integrieren Sie beide Seiten.

Answer 5

Hinweis :

Für die besondere Lösung von $\;y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}\cos^2x$Ich würde zuerst linearisieren $\cos^2x$:: $$\mathrm e^{2x}\cos^2x=\frac12\mathrm e^{2x}(1+\cos 2x), $$dann wenden Sie das Überlagerungsprinzip an , nämlich eine bestimmte Lösung für zu bestimmen

• $y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}$: wie $2$ ist eine einfache Wurzel der charakteristischen Gleichung, eine bestimmte Lösung kann in der Form gefunden werden $$y_0(x)=c_0x\mathrm e^{2x}$$ für eine geeignete $c_0$.
• $y''-y'-2y=\mathrm e^{2x}\cos 2x=\operatorname{Re}\bigl(\mathrm e^{2(1+i)x}\bigr)$, was der Realteil einer bestimmten Lösung ist, wenn die rhs ist $\mathrm e^{2(1+i)x}$. Wie$2(1+i)$ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung, diese spezielle Lösung wird die Form haben$$y_1(x)=c_1\mathrm e^{2(1+i)x} $$Beachten Sie, dass a priori $c_1$ wird eine komplexe Zahl sein, so dass Sie den Realteil von bestimmen müssen $\:c_1\mathrm e^{2(1+i)x}$.

Sie werden leicht finden $c_0$ und $c_1$ durch Identifizierung und Ableitung einer bestimmten Lösung für die ursprüngliche Gleichung als $$\frac12(y_0(x)+\operatorname{Re}\bigl(y_1(x)\bigr).$$