Differenzierbarkeit in Null

Question

Betrachten Sie die Funktion von,

$$f(x)=\begin{cases} x^2+kx+m & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \tan(x)+\cos(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

Ich möchte jetzt feststellen $k$ und $m$ so dass $f$ ist differenzierbar in $x=0$.

Darüber hinaus möchte ich feststellen $k$ so dass die Linie $k=y-36x$ ist senkrecht zu der folgenden Kurve gegeben durch,

$$y=\frac{1}{|x-7|}$$

Für die erste Aufgabe habe ich abgeschlossen $m=1$ und $k\in \mathbb{R}$. Ist das richtig, für die zweite Aufgabe habe ich keine Fortschritte gemacht

Answer 1

Kontinuität :

$\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=f(0)\\\Longrightarrow m=\tan 0 + \cos 0 \\ \Longrightarrow m=1$

Differenzierbarkeit:

$f'(x)=\begin{cases} 2x+k &-\frac{\pi}{2}<x<0\\ \sec^2x-\sin x &0\leq x<\frac{\pi}{2} \end{cases} \\ \Longrightarrow 2\cdot 0 +k=\sec^2 0-\sin 0 \\ \Longrightarrow k=1$

Answer 2

Sie können zwei Gleichungen erhalten - eine für die Kontinuität und eine für die Differenzierbarkeit.

KONTINUITÄT PRÜFEN

$$f(x)=\begin{cases} x^2+kx+m & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \tan(x)+\cos(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$\lim_{h \to0^+}h^2-kh+m=\tan h +\cos h$$ $$\implies \boxed{m=1}$$

UNTERSCHIEDLICHKEIT PRÜFEN $$f'(x)=\begin{cases} 2x+k & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \sec^2(x)-\sin(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$\lim_{h \to0^+}-2h+k=\sec^2(h)-\sin(h)$$

Ich lasse dich schließen.