Eigenschaft der Injective-Continuous-Funktion auf Compact-Set.

Question

Wenn $A \subset\mathbb{R}^n$ wo A kompakt ist und $f:A\rightarrow \mathbb{R}$ ist kontinuierlich.

Wenn f injektiv ist, zeigen die Punkte in $A$ bei welchem $f$ erreicht globale Maxima und Minima sind Grenzpunkte von $A$. Ist die Aussage wahr? Das Motiv für diese Frage kommt von hier .

Answer 1

Ihre Aussage ist eindeutig wahr, wenn $n=1$ und $A$ist ein kompaktes Intervall. Eine injektive Dauerfunktion an$A$ nimmt entweder zu oder ab, und die globalen Maxima und Minima befinden sich an beiden Endpunkten des Intervalls.

Annehmen $f$ nimmt sein globales Maximum bei $x_0\in A$ und das $x_0$ ist ein innerer Punkt von $A$. Betrachten Sie dann ein Liniensegment $$\mathbf{r}(t)=x_0+te_1$$ wo $e_1=(1, 0, 0,...,0)$. Für klein genug$t$, wir haben $\mathbf{r}(t)\in A$ also die funktion $g(t)=f(\mathbf{r}(t))$ ist in einem kleinen kompakten Intervall gut definiert $[-\delta,\delta]$ enthält $t=0$. Es ist seitdem injektiv$f$ ist injektiv und kontinuierlich.

Nach unserem Argument wann $n=1$ es folgt dem $g$ nimmt sein Maximum an der Grenze von $[-\delta,\delta]$ im Widerspruch zu der Tatsache, dass $g(0)=f(\mathbf{r}(0))=f(x_0)$ ist das globale Maximum von $f$.

Das Argument ist für ein globales Minimum identisch, indem das Vorzeichen von umgekehrt wird $f$.