Eigenschaft von Dreieckszentren

Question

$M$ist der Schnittpunkt von 3 Cevianern im Dreieck$ABC$.

$$AB_1 = x,\quad CA_1 = y,\quad BC_1= z.$$

Es kann leicht bewiesen werden, dass sowohl für Nagel- als auch für Gergonne- Punkte die folgende Gleichung gilt:$$S = xyz / r,$$wo$S$ist die Fläche des Dreiecks$ABC$und$r$ist der Radius des Inkreises.

Ich frage mich, welche anderen Dreieckszentren möglicherweise dieselbe Eigenschaft haben und was der geometrische Ort für sie ist?

Bitte beachten Sie auch, dass für den Fall, wo Punkt$M$der Schwerpunkt ist, sieht die Formel wie folgt aus:$S = 2xyz/R$, wo$R$ist der Radius des Umkreises. Auswechslung$x = b/2$,$y = a/2$,$z = c/2$bringt es zurück zum Klassiker$S = abc/4R$. Vielleicht könnten einige andere Dreieckszentren existieren, so dass diese Gleichung$S = 2xyz/R$gilt auch für sie. Ich frage mich, in welcher besonderen Beziehung diese hypothetischen Punkte zum Schwerpunkt stehen könnten$ABC$?

Answer 1

Dies ist nur eine Coda zu den obigen Kommentaren, aber zu lang für einen Kommentar. Wenn$M$baryzentrische Koordinaten hat$(\lambda,\mu,\nu)$(nicht unbedingt positiv und damit normalisiert$\lambda+\mu+\nu=1$), dann reduzieren sich beide Bedingungen auf eine kubische Gleichung der Form$$ \frac{\lambda\mu\nu}{(\mu+\nu)(\nu+\lambda)(\lambda+\mu)} $$ist eine Konstante, die von der (Form des) Dreiecks abhängt und leicht explizit berechnet werden kann.

Um zu überprüfen, ob ein gegebenes Zentrum (mit Zentrumsfunktion$f$aus der Encyclopedia of Triangle Centers, normalisiert, um homogen mit zu sein$f(a,b,c)+f(b,a,c)+f(c,a,b)=1$), sollte es einfach sein, ein kleines Programm, sagen wir in Mathematica, zu schreiben, um dies vor Ort zu überprüfen.

Answer 2

GeoGebra hat X(7) X(8) X(506) X(507) und noch einige mehr gefunden, wenn man abgelegene Kreuzungen von Cevians zulässt.

PS: In GeoGebra wurde ein Fehler gefunden.
Ich hoffe es wird bald behoben. [Edit: jetzt behoben]