Eigenwert und Eigenfunktion des komplexen Euler-Bernoulli-Strahls

Oct 08 2020

Ich bin neu in Mathematica und versuche, die Euler-Bernoulli-Modalgleichung für einen U-förmigen Cantilever-Balken zu lösen, der durch die folgenden Gleichungen gegeben ist:

Dabei ist i der Index der Region. Insgesamt gibt es 2 Regionen mit jeweils eigenen EI- und mu-Werten. Region 1 erstreckt sich von x = 0 bis x = Lleg und Region 2 erstreckt sich von x = Lleg bis x = L. Die Lösung ergibt sich aus dem Ausdruck:

und die Randbedingungen sind wie folgt: -

Ich weiß, dass mathematica eine NDEigensystem-Funktion hat, die mir dabei helfen kann, aber ich weiß nicht, wie ich sie richtig verwenden soll.

Bearbeiten: - Ich möchte auch einen analytischen Ausdruck von Phi (x) als Funktion von x für die 2 Regionen entwickeln, da ich diesen Ausdruck integrieren muss, um einige diskrete Parameter wie folgt zu erhalten: -

Der Codeblock lautet wie folgt: -

EAu = 78*10^9; (*Youngs Modulus of Gold*)
ESiN = 250*10^9; (*Youngs Modulus of Silicon Nitride*)
rhoAu = 19300; (*Density of Gold*)
rhoSiN = 3440; (*Density of Silicon Nitride*)
b11 =1.5; (*width of gold, section I*)
b12 = 4.5; (*width of gold, section II*)
b21 = b11; (*width of SiN, section I*)
b22 = b12; (*width of SiN, section II*)
h11 = 20*10^(-3); (*height of gold, section I*)
h21 = 510*10^(-3); (*height of SiN, section I*)
h12 = h11; (*height of gold, section II*)
h22 = h21; (*height of SiN, section II*)
IAu1 =(1/12)*b11*h11^3; (*2nd Moment of Area, gold, section I, about   the center*)
IAu2 = (1/12)*b12*h12^3; (*2nd Moment of Area, gold, section II, about the center*)
ISiN1= (1/12)*b21*h21^3; (*2nd Moment of Area, SiN, section I, about the center*)
ISiN2 = (1/12)*b22*h22^3; (*2nd Moment of Area, SiN, section II, about the center*)

EIsys1 = 2*EAu*(IAu1 + b11*h11*(0.5*(h11+h21)-0.5*h11)^2) + 2*ESiN*(ISiN1 + b21*h21*(0.5*(h11+h21)-0.5*h21)^2)
EIsys2 = EAu*(IAu2 + b12*h12*(0.5*(h12+h22)-0.5*h12)^2) + ESiN*(ISiN2 + b22*h22*(0.5*(h12+h22)-0.5*h22)^2)

musys1 = 2*rhoAu*b11*h11 + 2*rhoSiN*b21*h21 (*mass per unit length, section I*)
musys2 = rhoAu*b12*h12 + rhoSiN*b22*h22 (*mass per unit length, section II*)

AR = 5; (*Input Value, Aspect Ratio of Beam*)
L = AR*b12 (*Length of Beam, total*)
Lleg = AR*b11 (*Length of Beam, Section I*)

EIL = EIsys1
EIR = EIsys2
\[Mu]L = musys1
\[Mu]R = musys2
bleg = b11
b = b12
m = Lleg
eqnL = EIL \[Phi]L''''[x] - \[Mu]L *(\[Omega]^2)* \[Phi]L[x] == 0
eqnR = EIR \[Phi]R''''[x] - \[Mu]R *(\[Omega]^2)* \[Phi]R[x] == 0

bcs = {\[Phi]L[0] == 0, \[Phi]L'[0] == 0, 
\[Phi]L[m] == \[Phi]R[m], \[Phi]L'[m] == \[Phi]R'[m], 
2 bleg \[Phi]L''[m] == b \[Phi]R''[m], 2 bleg \[Phi]L'''[m] == b \[Phi]R'''[m],
\[Phi]R''[L] == 0, \[Phi]R'''[L] == 0}

Antworten

6 SPPearce Oct 12 2020 at 14:47

Ich habe ein Paket, das die Lösung von Eigenwertproblemen implementiert, einschließlich solcher Schnittstellenprobleme.

Zuerst müssen wir installieren (nur beim ersten Mal):

Needs["PacletManager`"] 
PacletInstall["CompoundMatrixMethod", 
    "Site" -> "http://raw.githubusercontent.com/paclets/Repository/master"]

Und dann laden Sie es:

Needs["CompoundMatrixMethod`"]

Wir konvertieren das ODE-System über meine Funktion in eine Matrixform ToMatrixSystem:

sys = ToMatrixSystem[{eqnL, eqnR}, bcs, {ϕL, ϕR}, {x, 0, m, L}, ω];

Die Methode erzeugt eine sogenannte Evans-Funktion, deren Wurzeln den Eigenwerten des ursprünglichen Systems entsprechen.

Dies kann für einen gegebenen Wert von ausgewertet werden $\omega$, sagen $\omega = 1$, mit:

Evans[1, sys]
  (* 4.54519 *)

Dies ist also nicht Null $\omega = 1$ist kein Eigenwert dieser Gleichung. Beachten Sie auch, dass es sich nicht täuschen lässt$\omega = 0$, bei dem die Determinante verschwinden wird.