Ein echtes Analyse-Qualifizierungsprüfungsproblem

Question

Ich habe ein echtes Analyseproblem gelöst, als ich bei diesem Problem feststeckte.

$1<p<\infty$ $f\in L^p(\mathbb{R})$ $\alpha>1-\frac1p$ zeige, dass $$\sum_{n=1}^\infty \int_{n}^{n+n^{-\alpha}}|f(x+y)|dy<\infty$$ für ae $x\in\mathbb{R}$.

Ich habe versucht, die Serie wrt zu integrieren $x$in einem begrenzten Intervall und versuchen Sie zu zeigen, dass es endlich ist, indem Sie die Ungleichung der Inhaber verwenden. Aber es gibt nicht die Dinge, die ich will. Irgendwelche Hinweise oder Vorschläge dazu?

Answer 1

Ich glaube, ich habe eine Lösung gefunden.

Durch Youngs Ungleichheit $ab\le a^p/p+b^q/q$ und Jensens Ungleichung $(\int_X f d\mu)^p\le \int_X f^pd\mu$ wo $\mu(X)=1$ wir haben $$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty \int_{n}^{n+n^{-\alpha}}|f(x+y)|dy&\leq \sum_{n=1}^\infty \frac1p\left(\frac{\int_{n}^{n+n^{-\alpha}}|f(x+y)|dy}{n^{-\alpha}}\right)^p+\sum_{n=1}^\infty\frac 1qn^{-\alpha q}\\ &\le \sum_{n=1}^\infty \frac1pn^\alpha\int_{n}^{n+n^{-\alpha}}|f(x+y)|^pdy+\sum_{n=1}^\infty\frac 1qn^{-\alpha q}\\ \end{aligned} $$Unter der Annahme konvergiert der zweite Term. Für das erste Semester integrieren wir wrt$x$ auf $[a,a+1/2]$ $$\begin{aligned} &\int_a^{a+1/2}\left(\sum_{n=1}^\infty \frac1p{\int_{n}^{n+n^{-\alpha}}|f(x+y)|^pdy}n^{\alpha}\right)dx\\ =&\sum_{n=1}^\infty \frac1p\int_{0}^{n^{-\alpha}}\int_{a+n}^{a+n+1/2}|f(x+y)|^pdxdy\cdot n^{\alpha}\\ \le &\sum_{n=1}^\infty \frac1p\int_{0}^{n^{-\alpha}}\int_{a+n}^{a+n+n^{-\alpha}+1/2}|f(x)|^pdxdy\cdot n^{\alpha}\\ =&\sum_{n=1}^\infty \frac1p\int_{a+n}^{a+n+n^{-\alpha}+1/2}|f(x)|^pdx n^{-\alpha} n^{\alpha}\\ \le& C\|f\|_p^p \end{aligned} $$ Die Schlussfolgerung folgt somit.