Ein invertierbares System mit Speicher

Question

Annehmen $\mathcal{L}$invertierbares System mit Speicher sein. Tut$\mathcal{L}^{-1}$ Gedächtnis unbedingt haben?

Intuitiv denke ich, dass die Antwort "Ja" ist. Es gibt viele Beispiele, die das zeigen. Zum Beispiel$\mathcal{L}(x(t)) = x(t-2)$ und $\mathcal{L}(x(t)) = x(\frac t 3)$. Ein anderes Beispiel, das mir problematisch erscheint, ist$$\mathcal{L}(x(t)) = \int_{-\infty}^{t}x(\lambda)d\lambda$$Das Gegenteil ist $$\mathcal{L}^{-1}(x(t)) = \frac{dx(t)}{dt}$$Hat das Unterscheidungsmerkmal ein Gedächtnis? Natürlich geht es hier hauptsächlich um den Speicher eines invertierbaren Systems mit Speicher. Beachten Sie das hier$\mathcal{L}$ kann auch nichtlinear sein.

Aus Gründen der Klarheit füge ich einige verwandte Definitionen aus Oppenheims Buch hinzu:

Invertierbares System: Ein System wird als invertierbar bezeichnet, wenn unterschiedliche Eingaben zu unterschiedlichen Ausgaben führen.

Kausalsystem: Ein System ist kausal, wenn die Ausgabe zu irgendeinem Zeitpunkt nur von den Werten der Eingabe zum gegenwärtigen Zeitpunkt und in der Vergangenheit abhängt.

Speicherloses System: Ein System wird als speicherlos bezeichnet, wenn seine Ausgabe für jeden Wert der unabhängigen Variablen zu einem bestimmten Zeitpunkt nur von der Eingabe zur gleichen Zeit abhängt.

Answer 1

Ich verstehe, dass es für zeitbasierte Systeme schwierig ist, sich eine Erinnerung an die Zukunft vorzustellen. Aber für allgemeine Systeme,$-t$ und $t$sind nur links und rechts (denken Sie an ein räumliches System). Andere Diskussionen finden im LTI-System statt$y(t)=x(t−T)$mit oder ohne Speicher , Was ist ein Speicher , weniger System? Oder Eine Frage zum Konzept der Zeit .

Per Definition der Invertierbarkeit $\mathcal{L}^{-1}$ ist so, dass $\mathcal{L}^{-1}( \mathcal{L}(x))=x$. Aber auch das$\mathcal{L}( \mathcal{L}^{-1}(x))=x$(Ableitungen und Integrale sind übrigens keine Umkehrungen). Nehmen wir das Gegenteil an:$ \mathcal{L}^{-1}$hat kein Gedächtnis. Daher$\mathcal{L}^{-1}(x[n]))$ kann nur den gegenwärtigen Zustand verwenden, und $\mathcal{L}$ auch zu ergeben $(x[n])$.

Also, wenn $\mathcal{L}^{-1}$ ist memoryless, $\mathcal{L}$ist auch memoryless. Im Gegensatz dazu ist die Konvergenz wahr