Ein Problem in der linken Hilbert-Algebra.

Question

Ich bin mit dem folgenden Problem festgefahren, als ich Abschnitt 10.1 aus dem Buch 'Lectures on von Neumann Algebras' von Strătilă und Zsidó durchgesehen habe.

Lassen $\mathfrak{A}$ eine komplexe Algebra mit Involution sein, die auch mit einem Skalarprodukt ausgestattet ist $\langle\cdot | \cdot\rangle$. Wir bezeichnen mit$\xi\mapsto\xi^{\text{#}}$ die Involution in $\mathfrak{A}$ und von $\mathscr{H}$ der Hilbert-Raum, der durch die Fertigstellung von erhalten wurde $\mathfrak{A}$. Wir bezeichnen mit$\mathfrak{A}^2$ der von den Elementen des Formulars erzeugte Vektorraum $\xi\eta,\,\xi,\,\eta\in\mathfrak{A}$. Das sagt man$\mathfrak{A}$ ist eine linke Hilbert-Algebra, wenn

1. $\mathfrak{A}\ni\eta\mapsto\xi\eta\in\mathfrak{A}$ ist kontinuierlich für jeden $\xi\in\mathfrak{A}$.
2. $\langle\xi\eta_1|\eta_2\rangle=\langle\eta_1|\xi^{\text{#}}\eta_2\rangle$ für jeden $\xi,\,\eta_1,\,\eta_2\in\mathfrak{A}$.
3. $\mathfrak{A}^2$ ist dicht in $\mathfrak{A}$.
4. $\mathscr{H}\supseteq\mathfrak{A}\ni\xi\mapsto\xi^{\text{#}}\in\mathscr{H}$ ist ein vorab geschlossener antilinearer Operator.

In Übereinstimmung mit $1$für jeden $\xi\in\mathfrak{A}$definiert man $L_{\xi}\in\mathscr{B}(\mathscr{H})$ nach der Formel $L_{\xi}(\eta)=\xi\eta,\,\eta\in\mathfrak{A}$.

Problem: Beweisen Sie das$I\in\overline{\{L_{\xi}:\xi\in\mathfrak{A}\}}^{so}$, wo $I$ ist die Identitätskarte auf $\mathscr{H}$ definiert von $I(\eta)=\eta,\,\eta\in\mathfrak{A}$.

Die Autoren sagen, dass es aus dem Eigentum folgt $3$, aber ich verstehe nicht, wie ich das argumentieren soll. Vielen Dank im Voraus für jede Hilfe.

Answer 1

Bezeichnen wir $\mathscr{A}=\{L_{\xi}:\xi\in\mathfrak{A}\}$. Fix$\eta\in\mathscr{H}$ und lass $\Large\chi$$= \ overline {\ mathscr {A} \ eta} $ . Dann als $ \ Large \ chi $ und $ \ Large \ chi$$^{\perp}$ beide sind unter unveränderlich $\mathscr{A}$, also die orthogonale Projektion $P_{\Large\chi}$ auf dem Unterraum $\Large\chi$ ist in $\mathscr{A}'$. Das wollen wir zeigen$\eta\in\Large\chi$. Nun zu allen$\xi\in\mathfrak{A}$, \ begin {Gleichung *} \ begin {split} L _ {\ xi} \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta = \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) L _ {\ xi} (\ eta) = 0, \\ \ text {ie} {L _ {\ xi}} ^ * \ big (I-P _ {\ large \ chi} \ big) \ eta = L _ {\ xi ^ {\ text {#}}} \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta = 0, \\ \ text {ie} \ langle \ zeta, {L _ {\ xi}} ^ * \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta \ rangle = 0 \ text {für alle} \ zeta \ in \ mathscr {H}, \\ \ text {ie} \ langle L _ {\ xi } (\ zeta), \ big (I-P _ {\ Large \ chi} \ big) \ eta \ rangle = 0 \ text {für alle} \ zeta \ in \ mathscr {H}. \ end {split} \ end {Gleichung *} Aber als$\mathfrak{A}^2\subseteq \{L_{\xi}(\zeta):\xi\in\mathfrak{A},\zeta\in\mathscr{H}\}$ ist dicht in $\mathfrak{A}$, daher ist es dicht in $\mathscr{H}$. Deshalb$\big(I-P_{\Large\chi}\big)\eta=0$dh $\eta\in\Large\chi$.