Eine detailorientierte Vermutung

Question

Vermutung Für beliebige ganze Zahlen$\ 0 \le k \le m\ $ es existiert eine ganze Zahl $\ n\ge m\ $ so dass für jede natürliche Zahl $\ s\ $ mindestens eine der Nummern $\ p(x)+s\ (\text{where}\ k\le x\le n)\ $ ist nicht prim.

Hier, $\ p(0)=2, p(1)=3,\ldots\ $ ist die streng ansteigende Folge aller Primzahlen.

Answer 1

Lassen $q=p(k)$. Unter Verwendung des Dirichletschen Theorems über Primzahlen in arithmetischen Abfolgen gibt es$n\geq m$ groß genug, dass für jeden $a$ nicht teilbar durch $q$, es gibt einige $k\leq x\leq n$ so dass $p(x)\equiv a\pmod q$. Auch nehmen$a=0$ und $x=k$, wir sehen, dass dies für alle Restklassen mod gilt$q$.

Nimm irgendein natürliches $s$ (was vermutlich auch erfordert $s>0$für dich). Nimm welche$k\leq x\leq n$ so dass $p(x)\equiv -s\pmod q$(die durch Konstruktion existiert). Dann$p(x)+s$ ist teilbar durch $q$ und größer als $q$.