Eine Schachbrettfliese mit Ecken in 3D entfernt

Question

Ein berühmtes Problem fragt, ob ein 8x8-Schachbrett mit zwei gelöschten gegenüberliegenden Ecken mit Dominosteinen gekachelt werden kann, wobei ein Dominostein ein Rechteck ist, das zu zwei benachbarten Quadraten des Bretts kongruent ist.

Nun sei C ein 8x8x8-Würfel, bei dem zwei diagonal gegenüberliegende Ecken entfernt sind. Für welche ganzen Zahlen$n>1$ Ist es möglich, C mit 1x1xn-Feldern in beliebiger Ausrichtung vollständig auszufüllen?

Answer 1

Unser verstümmelter Würfel

hat $8^3-2=510=2\cdot3\cdot5\cdot17$kleine Würfel. Dies muss ein Vielfaches von sein$n$, und natürlich $n\leq8$Also sicher $n$ ist einer von {2,3,5,6}.

Lassen Sie uns zuerst überlegen

$n=2$. Stellen Sie sich einen Pfad auf einem normalen 8x8-Schachbrett vor, der sich von einer Ecke zur nächsten schlängelt. Wenn wir beide Ecken entfernen, können wir das resultierende Brett mit Dominosteinen kacheln. Beginnen Sie also auf der Unterseite unseres Würfels (sagen wir mal) und kacheln Sie alles außer dem einen fehlenden Cubelet (sagen wir an der SW-Ecke) und dem in einer angrenzenden Ecke (sagen wir die SE-Ecke) mit Dominosteinen. Fügen Sie nun einen vertikalen Domino hinzu und spielen Sie dasselbe Spiel auf der nächsten Ebene, wobei Sie die bereits abgedeckte SE-Ecke und die NE-Ecke weglassen. Nun Schicht 3: NE / NW. Schicht 4: NW / SW. 5: SW / SE. 6: SE / NE. 7: NE / NW. Jetzt kommen wir zur letzten Schicht, wo wir bereits die NW-Ecke gefüllt und die NE-Ecke entfernt haben, und da diese benachbart sind, ist alles gut. So$n=2$ ist möglich.

Wie wäre es mit

$n=3$? Färben Sie die Cubelets in drei Farben entsprechend der Summe ihrer Koordinaten Mod 3. Wenn wir die entfernten Ecken auf die setzen$x=y=z$Diagonale dann haben sie die gleiche Farbe und wir haben 168 Kubel der Farbe und 171 Kubel der beiden anderen. Aber jede 1x1x3 Box enthält ein Cubelet jeder Farbe, so dass dies unmöglich ist. So$n=3$ ist unmöglich, und so ist es auch $n=6$.

Schließlich müssen wir überlegen

$n=5$. Nochmals Farbwürfel nach$x+y+z$ Mod 5, lassen $(0,0,0)$ und $(7,7,7)$die Würfel entfernt werden. Die resultierenden Cubelet-Zählungen sind: 100 von Farbe 0, 100 von Farbe 1, 103 von Farbe 2, 104 von Farbe 3, 105 von Farbe 4. Und wieder enthält jede 1x1x5-Box eine von jeder Farbe, so dass dies unmöglich ist.

Die endgültige Antwort lautet also:

Wir können es für tun $n=2$ (und trivialerweise für $n=1$) aber nicht für andere $n$.