Eine Version von Hurwitz 'Theorem

Question

Frage : Lassen Sie$\{f_n\}$ eine Folge von analytischen Funktionen in sein $\mathbb{C}$ die gleichmäßig auf kompakten Teilmengen von konvergieren $\mathbb{C}$ zu einem Polynom $p$ Grad $m$. Beweisen Sie das für$n$ groß genug, $f_n$ hat zumindest $m$ Nullen (Multiplizitäten zählen).

Versuch : Ich weiß, dass dies eine Version von Hurwitz 'Theorem ist, aber ich möchte nicht nur "von Hurwitz" sagen. Wenn$f_n$ ist identisch $0$Dann ist das Problem trivial. Nehmen wir also an, dass dies nicht der Fall ist. Für jeden Punkt$z_0\in\mathbb{C}$, es gibt eine $r>0$, so dass $0<|z-z_0|\leq r$. Lassen$|z-z_0|=r$ sei der Kreis $C$. Dann durch gleichmäßige Konvergenz weiter$C$ (schon seit $C$ ist kompakt wie es ein Kreis ist) haben wir $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$, und $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$. Damit,$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'_n(z)}{f_n(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{p'(z)}{p(z)}dz.$$ Da das Integral auf der linken Seite die Anzahl der Nullen von angibt $f_n(z)=0$ Innerhalb $C$, wir sehen das $f_n$ und $p$ haben die gleiche Anzahl von Nullen im Inneren $C$. Lassen$r\rightarrow\infty$ gibt das Ergebnis an $\mathbb{C}$.

Sehen Sie etwas falsch mit dem Beweis? Insbesondere ist mit dem "für" etwas los$n$ groß genug "oder" Multiplikite zählen "Teile des Problems, bei denen ich vorsichtig sein sollte? Jede Hilfe wird sehr geschätzt! Danke.

Answer 1

Es gibt einige Probleme mit Ihrer Argumentation:

Für jeden Punkt $z_0\in\mathbb{C}$, es gibt eine $r>0$, so dass $0<|z-z_0|\leq r$.

Was ist $z$ Hier?

Dann durch gleichmäßige Konvergenz weiter $C$ (schon seit $C$ ist kompakt wie es ein Kreis ist) haben wir $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$, ...

Du brauchst das $p(z) \ne 0$ auf $C$ für diese Schlussfolgerung.

... und $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$.

Das mag sein, aber was Sie brauchen, ist das $f_n'(z) \to p'(z)$ auf $C$.

Ich würde wie folgt beginnen: Erstens können wir davon ausgehen, dass der Abschluss $m$ von $p$ ist mindestens eins (sonst gibt es nichts zu zeigen), so dass $p$ist ein nicht konstantes Polynom. Dann wähle$r > 0$ so groß, dass alle Wurzeln von $p$ sind drinnen $\{ |z| < r \}$. Betrachten Sie nun den Kreis$C$ zentriert am Ursprung mit Radius $r$. Beachten Sie, dass$p$ ist nicht Null an $C$.

Zeigen Sie das endlich $f_n'/f \to p'/p$ gleichmäßig auf $C$und wenden das Argumentprinzip an.