Eine Wette mit deinem Freund
James, dein Freund, hat dich eingeladen, mit ihm zu wetten.
Er hat einen schönen Würfel mit $3$ Gesichter zeigen $0$ und $3$ Gesichter zeigen $1$. Du bezahlst ihn$\\\$70 $ . Er wirft den Würfel $ 15 $ mal und zeichnet die Summe der Zahlen aller Würfe auf, und er gibt Ihnen die aufgezeichnete Zahl im Quadrat Dollar. Was ist der erwartete Gewinn oder Verlust?
Bonus: Zumindest wie viele Würfel werden benötigt, um einen erwarteten Gewinn zu erzielen?
Problem von mir. Sie müssen eine Identität finden, um diese Frage zu beantworten, daher sollte dies kein Problem im Stil eines Lehrbuchs sein.
Antworten
Angenommen, wir haben $n$Würfel. Dann
du erhältst $k^2$ mit Wahrscheinlichkeit ${n\choose k}/2^n$ und Ihre Erwartung (ignorieren die $\\\$70 $ Gebühr für das Spielen) ist $ 2 ^ {- n} \ sum k ^ 2 {n \ wähle k} $ . Wir haben $ k {n \ wähle k} = n {n-1 \ wähle k-1} $, also entspricht dies $ 2 ^ {- n} n \ sum k {n-1 \ wähle k-1} $ . Wenn wir $ k = (k-1) + 1 $ schreiben und dieselbe Identität mit $ n-1, k-1 $ anstelle von $ n, k $ verwenden , sehen wir, dass dies $ 2 ^ {- n} n (n-) entspricht 1) \ sum {n-2 \ wähle k-2} +2 ^ {- n} n \ sum {n-1 \ wähle k-1} = \ frac14n (n-1) + \ frac12n = \ frac14n (n +1) $ .
Wenn $ n = 15 $
Ihr erwarteter Gewinn beträgt 60 US-Dollar pro Spiel, was nicht ausreicht, um die 70 US-Dollar zu kompensieren, die Sie für das Spielen zahlen. Dafür benötigen Sie $ n (n + 1) \ geq280 $, was zuerst bei $ n = 17 $ geschieht .
Nur zum Spaß, hier ist eine kombinatorische Methode, um die Identität zu beweisen, die ich oben verwendet habe:
wir brauchen $ \ sum k ^ 2 {n \ wähle k} = 2 ^ {n-2} n (n + 1) $ . Der erste Term ist die Anzahl der Möglichkeiten, eine bestimmte Anzahl (z. B. $ k $ ) von Bällen aus einem Satz von $ n $ auszuwählen und dann zweimal einen der $ k $ auszuwählen . Nehmen wir stattdessen an, wir wählen zweimal einen Ball (aus dem vollständigen Satz von $ n $ ) und wählen dann eine beliebige Teilmenge der anderen aus, um unseren Satz von $ k $ auszufüllen . Es gibt $ n \ cdot2 ^ {n-1} $ Möglichkeiten, dies zu tun, wenn wir denselben Ball zweimal auswählen. Es gibt $ 2 {n \ select 2} \ cdot2 ^ {n-2} $ Möglichkeiten, dies zu tun, wenn wir zu Beginn verschiedene Bälle auswählen. Wenn Sie diese hinzufügen, erhalten Sie das gewünschte Ergebnis.
Vielleicht gibt es eine klügere Möglichkeit, es etwas kurz zu machen.
Als @Gareth McCaughan nach einer intelligenteren Hosenlösung fragte:
Was wir berechnen müssen, ist der 2. rohe Moment der Binomialverteilung. Dies kann als die Varianz plus das mittlere Quadrat geschrieben werden, die alle bekannt sind:$\sigma^2 + \mu^2 = np(1-p) + (np)^2 = 60$mit den angegebenen Parametern. Erwarteter Verlust ist$\\\$10 $
Werte bei $ 16,17 $ sind $ 68,76,5 $ . Um einen Gewinn zu erwarten, brauchen wir also $ 17 $ Münzen.
Diese Lösung ist falsch, aber ich lasse sie hier, da ich denke, dass sie ein hervorragendes Beispiel dafür ist, wie man verwirrt $\rm{E}[x^2]$ und $\rm{E}[x]^2$.
Die Wahrscheinlichkeit zu bekommen $0$ (oder $1$) ist $1/2$Daher folgt der von Ihnen beschriebene Prozess einer Binomialverteilung mit Parameter$1/2$. Der erwartete Wert der Summe ist daher$15*\frac12=7.5$daher wird dein Freund dir geben $56.25$ Dollar, was zu einem Verlust von $13.75$ Dollar.
Die Mindestanzahl $n$ Die Anzahl der Würfelwürfe, um Geld zu verdienen, ergibt sich aus der Gleichung $$ (np)^2>70 $$ was gibt $$ n>\sqrt{70}p^{-1} = 16.73 $$(Wir verwerfen die negative Lösung). Dann ist die endgültige Antwort$$ n=17 $$ Dieses Würfelspiel entspricht der Anzahl der Köpfe beim Werfen einer fairen Münze.
Die Antworten hier scheinen zu kompliziert zu sein.
Angenommen: 50% der Zeit gibt der Würfel 1 zurück, 50% gibt er 0 zurück. Was ist die durchschnittliche Rendite bei 1 Wurf? 0,5
Was ist die durchschnittliche Rendite auf 15 Rollen? 0,5 mal 15 = 7,5 7,5 im Quadrat = 56,25