Einheiten / Nullteiler in $R[x]$

Question

Lassen $R$ sei die Menge der ganzen Zahlen modulo $9$, $\mathbb{Z}_9$und definieren $R[x]$der entsprechende Polynomring sein. Herausfinden, ob$x, 3x, 1 + x$, und $1 + 3x$ sind Einheiten oder Nullteiler.

Mein Versuch:

$3x$ ist ein Nullteiler seit $3x \cdot 3 = 9x = 0$ in mod $9$. $1 + 3x$ ist eine Einheit seit \begin{align*} (1 + 3x)(1 - 3x) = 1 - 3x + 3x + 9x^2 \equiv 1. \end{align*}

Ich kann es nicht herausfinden $x$ und $1 + x$. Durch Versuch und Irrtum glaube ich, dass sie weder Einheiten noch Nullteiler sind, aber ich kann nicht herausfinden, wie ich es beweisen kann.

ÜBERARBEITETER VERSUCH:

Betrachten Sie ein Nicht-Null-Polynom $p(x) = a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n$ wo $a_n \neq 0$ für einige $n \geq 0$. Dann\begin{align*} x p(x) & = x (a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x_n) \\ & = a_0 x + a_1 x^2 + \ldots + a_n x^{n+1}. \end{align*} Schon seit $a_n \neq 0$, $p(x)$ ist ein Polynom des Grades $n + 1$. Schon seit$n \geq 0$Dies impliziert, dass $p(x)$ ist ein Polynom des Grades $\geq 1$. Daher kann es auch nicht gleich sein$0$ oder $1$Es ist also weder ein Nullteiler noch eine Einheit.

Answer 1

Wie wäre es mit $1+x$? Versuchen wir, mit einem Polynom ungleich Null zu multiplizieren$$ (1+x)(a_0+a_1x+\dots+a_nx^n)= a_0+(a_1+a_0)x+(a_2+a_1)x^2+\dots+(a_n+a_{n-1})x^n+a_nx^{n+1} $$ Wenn $1+x$ ist eine Einheit, die wir finden sollten $$ a_n=0,\quad a_n+a_{n-1}=0,\quad\dots,\quad a_1+a_0=0,\quad a_0=1 $$ und Sie sehen sofort den Widerspruch.

Können $1+x$ein Nullteiler sein? Wieder nicht, weil wir brauchen würden$a_0=0$, Desweiteren $a_1=0$ und so weiter bis $a_n$.

Was ist der Unterschied zwischen $1+x$ (weder eine Einheit noch ein Nullteiler) und $1+3x$(eine Einheit)? Das$3x$ist nicht potent .

Dein Versuch für $x$ ist gut: wenn $p(x)$ hat Abschluss $n\ge0$, dann $xp(x)$ hat Abschluss $n+1$.

Jederzeit ein Polynom $q(x)$ hat eine Einheit als Hauptbegriff, die Gradformel gilt $\deg(q(x)p(x))=\deg q(x)+\deg q(x)$. Beweise es. Dies liefert einen anderen Beweis dafür, dass$1+x$ ist weder eine Einheit noch ein Nullteiler.