Einschränkung durch Substitution

Question

Wir stoßen oft auf Integrale, bei denen wir verschiedene Substitutionen verwenden, um unser Problem zu reduzieren. Eine häufige ist die trigonometrische Substitution.

Wenn wir ersetzen $x=\sin \theta$, schränken wir nicht ein $x$Werte zu $[-1,1]$?

Hier ist ein kurzes Beispiel:

$$\int_2^3 xdx$$

In diesem Fall, $x$ ist immer in $[2,3]$. So ist es auch$x=\sin \theta$ eine gültige Substitution hier?

Generell möchte ich sagen, dass eine Substitution in einer unbestimmten Integration genau dann gültig ist, wenn die ersetzte Variable den gleichen Bereich wie die neue Variable hat.

Answer 1

Sie "laufen" ein bestimmtes Integral über eine Menge. In gewisser Weise können Sie sich ein 'bestimmtes Integral' als eine Prozedur vorstellen, die eine Teilmenge (S) von aufnimmt$\mathrm{R}$ und gibt den Bereich einer Funktion unter der Kurve und der x-Achse in diesem Intervall an.

Wenn Sie eine Änderung von Variablen vornehmen, müssen Sie, da Sie die zu integrierende Funktion ändern, auch die Menge ändern, über die Sie integrieren. Wenn Sie über einen Satz integriert haben$[a,b]$ und Sie ersetzen das folgende Formular:

$$ x= g(t)$$

Dann in der neuen Domäne von $t$wird Ihre Domain folgendermaßen transformiert:

$$ [a,b] \to [ g^{-1} (a) , g^{-1} (b) ] $$

Sie können denken, dass wir variieren, wenn wir 't' variieren $g(t)$und dies wiederum variiert die Ausgabe. Und ja, wir können nur dann eine Substitution vornehmen, wenn die$g(t)$ kann die ursprüngliche Domäne umfassen, über die wir integriert haben.

In Anbetracht des oben Gesagten müssen Sie beim Ändern von Variablen zunächst sicherstellen, dass die neu integrierte Funktion, die Sie integrieren, eine genau definierte Umkehrfunktion aufweist, damit Sie Ihre Grenzen ordnungsgemäß ändern können.

Im besonderen Fall scheinen wir nicht zu finden $ \sin^{-1} (2)$ oder $ \sin^{-1} (3)$während auf die Menge der Real beschränkt. Daher ist diese Substitution in diesem Fall nicht möglich.