Elementarmatrizen finden

Question

Betrachten wir also diese Matrizen $$A=\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$ $$ B =\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 1\\ \end{bmatrix} $$

Und die Frage ist, die invertierbare Matrix zu finden $X$ so dass $AX=B$ und ausdrücken $X$als Produkt von 2 Elementarmatrizen.

Was ich weiß, habe ich versucht: Ich weiß also, dass man X leicht erhalten kann, indem man A invertiert und mit B multipliziert, aber ich brauche die beiden Elementarmatrizen, also habe ich eine andere Lösung ausprobiert.

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B$$

Also habe ich versucht, A durch elementare Zeilenoperationen gleich zu machen und dasselbe mit anderen 2 zu tun $\times$ 2 Identitätsmatrix.

$$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} \iff R_{2}$$

$$\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 1\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

$$R_{1} + R_{2} \implies R_{1} $$

$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 2\\-1 & 1\\\end{bmatrix}$$

So konnte ich in zwei elementaren Operationen wie dem angegebenen Problem zu C gelangen. Aber wenn ich dann versuche, mit meiner ursprünglichen Gleichung zu überprüfen:

$$(A\cdot E_{1})\cdot E_{2} = B $$ $$\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 1\\2 & 1\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}\end{pmatrix}\begin{bmatrix}1& 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}$$

Es ist nicht gleich C. Ich verstehe nicht, was ich falsch mache? Ich habe immer wieder versucht, die Berechnung durchzuführen, und komme immer noch zum selben Ergebnis. Wo ist mein Fehler hier? Ist es der Prozess selbst?

Answer 1

Versuche zu berechnen $A^{-1}B$ und Sie werden sehen, dass sich die Matrix von unterscheidet $E_1E_2$ , also wegen der Umkehrung einer quadratischen Matrix ist einzigartig (und so $A^{-1}B$ Auch) Ihre Methode ist falsch.

---

Um das Problem zu lösen, würde ich eine Eigenschaft der Traspose-Matrix verwenden, nämlich:

$$(KA)^T=A^TK^T$$

Um dies zu verwenden, finden Sie die Elementarmatrizen für das System: $$KA^T = B^T$$ mit $K=E_2E_1$und dann alles transaspieren und erhalten:

$$(E_2E_1A^T)^T = (B^T)^T \iff AE_1^TE_2^T = B$$