Endliche Dimensionalität von Ext¹ einfacher Module

Question

Der Einfachheit halber lassen $\Bbbk$ ein charakteristisches Feld sein $0$ und lass $A$ ein endlich erzeugter unitaler Assoziativ sein $\Bbbk$-Algebra.

Ist es wahr, dass für zwei beliebige einfach $A$-Module $S_1, S_2$, wir haben das $\operatorname{Ext}^1_A (S_1, S_2)$ ist endlichdimensional?

Wenn nicht, was wäre ein einfaches Gegenbeispiel und welche Bedingungen benötigen wir, um dies sicherzustellen?

(Soweit ich weiß, die Weyl-Algebra $\Bbbk \langle x, y \rangle / (xy - yx - 1)$ hat nur unendlich dimensionale einfache Module, aber ihre ersten Erweiterungsgruppen sind immer noch endlichdimensional.)

Answer 1

Tatsächlich gilt Ihre Behauptung über die Weyl-Algebra nur für einfache holonome Module. Es stellt sich heraus, dass es ein einfaches nicht holonomes Modul gibt$M$ über die 2. Weyl-Algebra $A=A_2(\Bbb C)$ für welche $\operatorname{Ext}_A^1(M,M)$ist unendlich dimensional. Dies ist Korollar 1.3 von „Nicht-holonome Module über Weyl-Algebren und Hüllalgebren“ von Stafford.

Answer 2

Es ist wahr, wenn $A$ist kommutativ. Wir können rechnen$\text{Ext}^1(S_1, S_2)$ unter Verwendung der ersten drei Begriffe einer freien Auflösung von $S_1$;; schon seit$S_1$ ist einfach, es ist zyklisch, also ist der erste Term dieser Auflösung $A$ und der zweite Term dieser Auflösung ist eine endliche Menge von Generatoren des Kernels von $A \to S_1$, die endlich generiert wird, weil $A$ist Noetherian; Noetherianness impliziert auch, dass wir den dritten Term (und tatsächlich jeden Term) als endlich frei betrachten können. So erhalten wir eine stufenweise endliche freie Auflösung

$$\cdots \to A^n \to A^m \to A \to S_1 \to 0$$

was berechnet $\text{Ext}^1(S_1, S_2)$ als Subquotient von $\text{Hom}(A^m, S_2) \cong S_2^m$;; vom Nullstellensatz$\dim_k S_2$ ist so endlich $\dim_k \text{Ext}^1(S_1, S_2)$muss auch endlich sein. Allgemeiner$\dim_k \text{Ext}^n(S_1, S_2)$ ist endlich.

Wenn $A$ ist nicht kommutativ $\dim_k S_2$ kann unendlich sein und der Kern von $A \to S_1$ kann unendlich erzeugt werden (wenn $A$ ist nicht noetherisch), daher schlägt dieses Argument an zwei Stellen fehl.