Endliche / unendliche Gruppen

Question

Welche der folgenden Aussagen ist / sind wahr?

a) Es gibt unendlich viele endliche Gruppen, in denen jedes Nichtidentitätselement Ordnung hat $2$.

b) Es gibt eine unendliche Gruppe, in der jedes Nichtidentitätselement Ordnung hat $2$.

c) Es gibt eine unendliche Gruppe, in der es Ordnungselemente gibt $n$ für alle $n\in \Bbb N$.

d) Es gibt unendlich viele unendliche Gruppen, in denen jedes Nichtidentitätselement eine endliche Ordnung hat.

Mein Versuch: Option 2 scheint richtig zu sein, da ich ein Beispiel für eine solche Gruppe habe (Potenzmenge natürlicher Zahlen unter der binären Operation der symmetrischen Differenz ist ein solches Beispiel), aber ich kann nichts über andere Optionen schließen.

In Bezug auf Option 1 scheint es wahr zu sein, wenn man bedenkt $\Bbb Z_2\times \Bbb Z_2\times\cdots$aber ich bin immer noch verwirrt. Für die letzten beiden Optionen habe ich keine schlüssige Idee, die ich hier anwenden kann. Bitte führen.

Answer 1

(a) Für $n\geq 1$, $\prod_{i=1}^n\Bbb{Z}_2$ ist eine endliche Gruppe, deren nichttriviales Element Ordnung hat $2$. Es gibt also unendlich viele solcher Gruppen.

(b) $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_2$ ist die gewünschte Gruppe.

(c) Sie können das Beispiel betrachten $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$. Dann für jeden$n\in \Bbb{N}$, $\frac{1}{n}+\Bbb{Z}$ ist ein Element der Ordnung $n$ im $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$.

(d) Für $n\geq 2$, $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_n$ist eine unendliche Gruppe, deren nichttriviales Element eine endliche Ordnung hat. Es gibt also unendlich viele solcher Gruppen.

Answer 2

Wenn es für Sie einfacher ist, sich etwas vorzustellen, können Sie jedes Element als endlich betrachten, obwohl die Gruppe als Ganzes unendlich ist.

Zum Beispiel können wir für (2) jedes Element von nehmen $G$ eine endliche Folge sein, bestehend aus $1$ und $-1$ und endet in $-1$(Die Identität ist die Nullsequenz). Finden$ab$multiplizieren wir die Werte von $a$ und $b$ paarweise, dann beenden Sie die Sequenz am letzten $-1$. Wenn sie unterschiedlich lang sind, fügen wir hinzu$1$ auf die kürzere genug, um sie gleich lang zu machen, dann multiplizieren. $G$ ist unendlich, denn obwohl jedes einzelne Element eine endliche Länge hat, gibt es eine unendliche Anzahl dieser endlichen Längen.

Eine ähnliche Strategie funktioniert für (3) und (4). Für (3) nehmen wir endliche Sequenzen, in denen die$n$Der Wert ist ein Element von $\mathbb Z_n$Wenn die Sequenz nicht die Länge 1 hat, ist der letzte Wert nicht $1$. Für (4) nehmen wir einfach Variationen von (3). Zum Beispiel können wir die Sequenz bei beginnen$\mathbb Z_k$. Oder nimm$k$ Kopien von (3) usw.