Falscher Beweis mit mathematischer Induktion

Question

Ich habe fälschlicherweise versucht, die Reihenfolge zu beweisen $a_n=\frac{n}{2^n}$nimmt zu. (Es ist offensichtlich, dass die Sequenz abnimmt, aber ich habe es zuerst nicht bemerkt und ich habe bewiesen, dass es versehentlich zunimmt!)

Also habe ich mathematische Induktion verwendet, um zu beweisen $a_{n}\leq a_{n+1}$::

$n=1 : a_1=\frac{1}{2} \leq a_2=\frac{1}{2}$

Annehmen $n=k : a_k \leq a_{k+1} $

Jetzt beweisen wir für $n=k+1 : a_{k+1} \leq a_{k+2}$ oder $\frac{k+1}{2^{k+1}} \leq \frac{k+2}{2^{k+2}}$

Wir nahmen an $a_k \leq a_{k+1} \rightarrow \frac{k}{2^k} \leq \frac{k+1}{2^{k+1}}$

Damit $k (2^{k+1}) \leq 2^k (k+1)$ multiplizieren Sie beide nebeneinander $2$ und wir erhalten: $k(2^{k+2}) \leq 2^{k+1} (k+1)$ dann füge hinzu $2^{k+2}$ zu den Seiten: $(k+1) 2^{k+2}\leq 2^{k+1}(k+3) \leq 2^{k+1}(k+2)$ Daher: $\frac{k+1}{2^{k+1}} \leq \frac{k+2}{2^{k+2}} \rightarrow a_{k+1} \leq a_{k+2}$

Also habe ich die Reihenfolge bewiesen $a_n$nimmt mit der mathematischen Induktion zu Aber wie ich bereits sagte, ist es falsch und nimmt tatsächlich ab. Aber warum funktioniert diese Methode "mathematische Induktion" hier perfekt? Ich bin sicher, ich habe genau die Schritte dafür gemacht (zuerst bewiesen, dass es funktioniert$n=1$ dann angenommen, es funktioniert für $n=k$ und schließen Sie, dass es für funktioniert $n=k+1$) Es ist wirklich seltsam für mich zu sehen, wie die mathematische Induktion bestätigt, dass die Sequenz zunimmt. Vermisse ich etwas

Answer 1

Ihre Argumentation enthält einen Fehler. Sie schrieben:

$$2^{k+1}(k+3)\leq 2^{k+1}(k+2)$$

Das ist falsch. Eigentlich$2^{k+1}(k+2)<2^{k+1}(k+3)$. Hier bricht also Ihr induktives Argument zusammen und beweist das Ergebnis nicht.