Faltungsintegral-Linearoperator ein $L^2$

Question

Definieren Sie einen linearen Operator für on$L^2[0,1]$von$K(f)(t) = \int_{0}^{t}(t-s)f(s)ds$. Gegeben$g \in L^2[0,1]$, finden$f$so dass$f = g + K(f)$.

Ich bin wirklich verloren, wie man das macht. Das habe ich schon gezeigt$K$ist ein beschränkter linearer Operator, also dachte ich, ich könnte vielleicht den Riesz-Darstellungssatz verwenden, aber ich denke nicht, dass das die richtige Richtung ist.

Ich würde mich sehr über einen Hinweis freuen, wo ich hingehen kann. Vielen Dank!

Answer 1

Die Integralgleichung kann unter Verwendung der Laplace-Transformation gelöst werden. Wenden Sie die Laplace-Transformation auf beide Seiten an, indem Sie die Tatsache nutzen, dass die Laplace-Transformation einer Faltung von zwei Funktionen das Produkt der Laplace-Transformationen jeder Funktion ist. Erhalten Sie dabei die Gleichung$$F(s) = G(s) + \frac{G(s)}{2(s-1)} - \frac{G(s)}{2(s+1)}$$wo$F$und$G$sind die Laplace-Transformationen von$f$und$g$, bzw. Nehmen Sie die inverse Laplace-Transformation Term für Term und verwenden Sie den Faltungssatz, um den inversen Laplace des zweiten und letzten Terms auf der rechten Seite zu finden.

Answer 2

Das ist die gleiche Frage wie das zu zeigen$f\mapsto K(f)-f$ist ein surjektiver linearer Operator. weil$K$ein Hilbert-Schmidt-Operator ist, kompakt ist und$T(f)=K(f)-f$ist also Fredholm. Tatsächlich ist es Fredholm mit Index Null, da sich der Fredholm-Index unter Hinzufügung von Kompakten nicht ändert. Wenn wir also zeigen, dass der Kern trivial ist, dann haben wir gezeigt, dass der Operator surjektiv ist.

Annehmen, dass$T(f)=0$, oder äquivalent,$K(f)=f$. Dann für fast alle$t$,$f(t)=\int_0^t (t-s)f(s)\,ds$. Da das Bild eines Faltungsoperators stetig ist, können wir einen stetigen Repräsentanten für wählen$f$, und fragen Sie nach punktweiser Gleichheit. Jetzt, an jedem Punkt$t_0$,$\frac{1}{h}[f(t_0+h)-f(t_0)]=\frac{1}{h}\int_{t_0}^{t_0+h}(t-s)f(s)\,ds$, was kleiner oder gleich ist$\|f\|_\infty\cdot h$, also ist die Funktion differenzierbar. Wenn wir nun unter dem Integral differenzieren, sehen wir das$f'(t_0)=\int_0^{t_0} f(s)\,ds$, und das bedeutet das$f''(t_0)=f(t_0)$, so$f(t)=c_1\sin(t)+c_2\cos(t)$. Wenn Sie diese einstecken, wird dies sofort angezeigt$c_1,c_2=0$, also ist der Kernel trivial, und der Fredholm-Index, der Null ist, bedeutet, dass der Operator$T$ist surjektiv.