Fibranten-Ersatz-Funktor

Question

Im folgenden Ausschnitt (aus Hoveys MC-Buch) ist warum$$X\mapsto QX$$aber dann kehrt sich die Richtung um :$$QX\to X$$?

Außerdem möchte ich in diesem Absatz verstehen, wie$\alpha$und$\beta$werden verwendet, um diese Ersatzfunktoren zu erhalten: Werden sie beide für den Cofibranten-Ersatzfunktor verwendet, sagen wir?

Answer 1

Das Axiom der funktorialen Faktorisierung besagt, dass jede Karte durch eine Cofibration gefolgt von einer azyklischen (trivialen) Fibration faktorisiert (und Sie können den "trivialen" Teil auch auf den Cofibrationsfaktor übertragen). Angesichts der Karte$\varnothing \to X$, die immer existiert als$\varnothing$initial ist, wenden wir dieses Axiom an, um eine Faktorisierung zu erhalten$$ \varnothing \to QX \to X $$wobei die erste eine Cofibration und die zweite eine triviale Fibration ist. Das ist Ihre Karte$QX \to X$. Der Prozess, dies zu tun, ist jedoch ein Funktor, der als fungiert$X \mapsto QX$. Dass dies ein Funktor ist, ist das "Funktoriale" in der funktorialen Faktorisierung. Dies bedeutet nicht, dass es eine Karte gibt$X \to QX$. Mit anderen Worten, der Cofibranten-Ersatz ergibt einen Funktor$Q$mit$Q(X)=QX$. Er schrieb dies einfach als$X \mapsto QX$(und nicht$X \to QX$, was etwas anderes und falsches bedeuten würde).