Finden von lim sup

Question

Ich kann keinen Weg finden, dies zu lösen. Ich habe versucht, die Definition von lim sup zu verwenden, habe aber keine Ahnung.

Betrachten Sie die Serie: $\sum^\infty_{n=1} a_n = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\cdots$

Dann $\limsup_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=$

Edit: Dies ist die Arbeit, die ich gestern Abend gemacht habe. Ich entschuldige mich dafür, dass ich meine Arbeit nicht gezeigt habe.

Ich habe mir die Sequenz angesehen $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$. Ich habe beobachtet, dass es so aussieht$\frac{2}{3}, \frac{3}{2^2}, \frac{2^2}{3^2},\frac{3^2}{2^3},\cdots$.

Die allgemeinen Begriffe sehen also so aus $(\frac{2}{3})^n$ zum $n$ ungerade und $\frac{1}{2}(\frac{3}{2})^n$ zum $n$ sogar.

Ich schaute auf die Supremums der Schwanzsequenzen und beschloss dann, ihr Infimum zu finden. Die Sequenz wie ich gefunden habe$\infty$ als das Supremum jeder Schwanzsequenz seit der Sequenz für $n$sogar nimmt monoton zu. So folgerte ich, dass das Limsup sein sollte$\infty$. Die Antwort wurde jedoch gegeben$\frac{1}{2}$.

Diese Sequenz, die ich gefunden habe, ist natürlich ein Fehler, da die Exponenten, die ich genommen habe, falsch sind.

Die Sequenz sieht tatsächlich so aus $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\cases{(\frac{2}{3})^{\frac{n+1}{2}}& n is odd\\ \frac{1}{2}(\frac{3}{2})^\frac{n}{2}& n is even}$

Dennoch besteht die Sequenz des Supremums der Schwänze nur aus $\infty$ und daher ist das Infimum der Supremums $\infty$. Was vermisse ich?

Answer 1

Ihr Argument ist vollkommen in Ordnung und der "Bandit" in diesem Fall ist der Autor des Problems, das unklar macht, wie $a_{n}$ist auszudrücken. Etwas, das ich für einige Autoren als wahr befunden habe, ist das; Im Zweifelsfall wird ein Mathematiklehrbuch immer in "Drei" geschrieben.

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Wenn statt zu behandeln $a_{n}$ eine Folge alternierender wechselseitiger Kräfte von sein $2$ und $3$, wir nehmen $a_{n}$ eine Folge gleicher Kräfte sein, wie in $a_{n}=\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}$Dann erhalten wir eine alternative (und im Nachhinein wahre) Beschreibung der betreffenden Serie. Durch die folgende Abfolge von Berechnungen erreichen wir$\lim \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$::

Zuerst durch Umschreiben $a_{n}$ auf einen gemeinsamen Nenner bekommen wir $a_{n}=\frac{3^{n}+2^{n}}{6^{n}}$ und so

$$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{6(2^{n}+3^{n})}.$$

Teilen von Zähler und Nenner durch $3^{n+1}$ wir kommen an $$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}.$$ Jetzt seit $$(\frac{2}{3})^{n},(\frac{2}{3})^{n+1}\to 0 \ \text{as} \ n \to \infty$$ wir verstehen das $$\lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim \frac{(\frac{2}{3})^{n+1}+1}{2((\frac{2}{3})^{n}+1)}=\frac{1}{2}.$$ weil $\lim \sup x_{n} = \lim x_{n}$ für eine Sequenz $x_{n}$ was konvergiert, können wir daraus schließen $$\lim_{n\to\infty} \sup \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$$.