Frage basierend auf dem probabilistischen Diffusionsmodell
Ich bin in meinem Einführungswahrscheinlichkeitskurs auf diese Frage gestoßen, ohne eine Ahnung zu haben, wie ich vorgehen soll:
"Es gibt zwei Kisten - A mit n blauen Kugeln und B mit n schwarzen Kugeln. Bei jedem Schritt wird eine Kugel zufällig aus beiden Kisten ausgewählt und getauscht, dh die aus A wird in B gelegt und umgekehrt $X_m$sei die Anzahl der schwarzen Kugeln in Urne A nach m Schritten. Beachten Sie, dass dies den Zustand des Systems nach m Schritten bestimmt, dh nach dem Wissen$X_m$beschreibt die Zusammensetzung beider Urnen. Erhalten Sie die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion von$X_m$. "
Ich bin bei dieser Frage festgefahren und habe sinnlose Gleichungen geschrieben, ohne zu wissen, was ich tun soll. Könnte mir bitte jemand einen Einblick geben, wie ich anfangen kann?
Außerdem wurde uns gerade die Zufallsvariable vorgestellt (nur weil ich online etwas über Markov-Matrizen und alles gefunden habe und nichts davon verstanden habe).
Danke im Voraus!
Antworten
Bei einem Verfahren, das sich mit zwei Kisten mit blauen und roten Kugeln befasst, ist es schwierig, eine Anzahl von schwarzen Kisten in einer Urne zu erraten . Im Folgenden habe ich angenommen, dass die Frage Druckfehler enthält, und versucht, diese zu beheben, aber die erhaltene Antwort sieht zu kompliziert aus.
Wir gehen davon aus, dass zunächst Box $A$ enthält $n$ blaue Kugeln und keine anderen Kugeln und Box $B$ enthält $n$schwarze Bälle und keine anderen Bälle. Auch nehmen wir das bei jedem Schritt an$m\ge 1$ alle Bälle aus $A$ und alle Bälle aus $B$haben die gleiche Wahrscheinlichkeit gewählt zu werden. Nehme an, dass$X_{m-1}=i$. Abhängig von den Farben der ausgewählten Kugeln gibt es die folgenden vier möglichen Fälle für$X_m$.
1)) Der Ball aus $A$ ist schwarz und der Ball aus $B$ist schwarz. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall ist$\tfrac in\cdot \tfrac {n-i}n=\tfrac{i(n-i)}{n^2}.$ In diesem Fall $X_{m}=X_{m-1}=i$.
2)) Der Ball aus $A$ ist schwarz und der Ball aus $B$ist blau. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall ist$\tfrac in\cdot \tfrac in=\tfrac{i^2}{n^2}.$ In diesem Fall $X_{m}=X_{m-1}-1=i-1$.
3)) Der Ball aus $A$ ist blau und der Ball aus $B$ist schwarz. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall ist$\tfrac {n-i}n\cdot \tfrac {n-i}n=\tfrac{(n-i)^2}{n^2}.$ In diesem Fall $X_{m}=X_{m-1}+1=i+1$.
4)) Der Ball aus $A$ ist blau und der Ball aus $B$ist blau. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall ist$\tfrac {n-i}n\cdot \tfrac in=\tfrac{i(n-i)}{n^2}.$ In diesem Fall $X_{m}=X_{m-1}=i$.
Für jeden $m\ge 0$ Lassen $x_m=(x_{m0}, x_{m1},\dots, x_{mn})^T$, wo für jede ganze Zahl $i$ von $0$ zu $n$, $x_{mi}$ ist eine Wahrscheinlichkeit, dass $X_m$ gleich $i$. Die obige Beobachtung folgt dem$x_m=Ax_{m-1}$ für jeden $m\ge 1$, wo $A=\|a_{ij}\|$ ist eine Matrix, so dass
$a_{ii}=\frac {2i(n-i)}{n^2}$ für jeden $0\le i\le n$,
$a_{i-1, i}=\frac{(n-i)^2}{n^2}$, für jeden $1\le i\le n$,
$a_{i+1, i}=\frac{i^2}{n^2}$, für jeden $0\le i\le n-1$,
und alles andere $a_{ij}$ sind Nullen.
Dann $x_0=(1,0,\dots,0)$ und $x_m=A^mx_0$ für jeden $m$. Für große$m$ die Berechnung der Leistung $A^m$kann vereinfacht werden, indem eine jordanische Normalform gefunden wird $J=P^{-1}AP$rechnen $J^m$durch die Formeln für Jordan-Zellen von$J$ und erhalten $A^m=PJ^mP^{-1}$.